1. Determine: (b) lim x→1 (ln x) / (sen (πx))

Vamos calcular o limite: \[ \lim_{x \to 1} \frac{\ln x}{\sen(\pi x)} \] Passo 1: Substituir \(x = 1\): \[ \frac{\ln 1}{\sen(\pi \cdot 1)} = \frac{0}{0} \] Forma indeterminada, então aplicamos a regra de L'Hôpital. Passo 2: Derivar numerador e denominador: \[ \text{Derivada do numerador: } \frac{d}{dx} \ln x = \frac{1}{x} \] \[ \text{Derivada do denominador: } \frac{d}{dx} \sen(\pi x) = \pi \cos(\pi x) \] Passo 3: Calcular o limite das derivadas em \(x=1\): \[ \lim_{x \to 1} \frac{1/x}{\pi \cos(\pi x)} = \frac{1/1}{\pi \cos(\pi \cdot 1)} = \frac{1}{\pi \cos \pi} = \frac{1}{\pi \cdot (-1)} = -\frac{1}{\pi} \] Resposta correta: \[ \boxed{-\frac{1}{\pi}} \]