Vamos analisar a concavidade da função f(x) = e^x / x usando a segunda derivada: f''(x) = e^x (x² − 2x + 2) / x³ Passo 1: Identificar o sinal de f''(x) para determinar a concavidade. - e^x é sempre positivo para todo x real. - O numerador da fração na segunda derivada é (x² − 2x + 2). - O denominador é x³. Passo 2: Analisar o numerador (x² − 2x + 2): O discriminante Δ = (-2)² - 4*1*2 = 4 - 8 = -4 < 0, ou seja, o polinômio não tem raízes reais e é sempre positivo (porque o coeficiente de x² é positivo). Logo, (x² − 2x + 2) > 0 para todo x real. Passo 3: Analisar o denominador x³: - Para x > 0, x³ > 0 - Para x < 0, x³ < 0 Passo 4: Determinar o sinal de f''(x): f''(x) = (positivo) * (positivo) / (sinal de x³) - Para x > 0: f''(x) > 0 → concavidade para cima. - Para x < 0: f''(x) < 0 → concavidade para baixo. Passo 5: Considerar o domínio da função: f(x) = e^x / x não está definida em x = 0. Resposta final: - f é côncava para cima em (0, +∞) - f é côncava para baixo em (−∞, 0)