Vamos analisar a transformação linear T: R³ → R³ dada por T(x,y,z) = (z, x - y, -z). Queremos encontrar uma base para a imagem de T, ou seja, o conjunto dos vetores que podem ser escritos como T(x,y,z) para algum (x,y,z). Passo 1: Expressar a imagem de T. Para (x,y,z) ∈ R³, T(x,y,z) = (z, x - y, -z). Note que o vetor imagem tem a forma (z, x - y, -z). Podemos escrever o vetor imagem como combinação linear dos vetores: - z*(1, 0, -1) + x*(0, 1, 0) + y*(0, -1, 0) Ou seja: T(x,y,z) = x*(0,1,0) + y*(0,-1,0) + z*(1,0,-1) Passo 2: Verificar a independência linear dos vetores (0,1,0), (0,-1,0) e (1,0,-1). Note que (0,1,0) e (0,-1,0) são linearmente dependentes, pois (0,-1,0) = -1*(0,1,0). Logo, os vetores independentes são (0,1,0) e (1,0,-1). Portanto, uma base para a imagem de T é {(0,1,0), (1,0,-1)}. Passo 3: Verificar qual alternativa corresponde a essa base. Alternativa B) [(0,1,0); (1,0,-1)] — corresponde exatamente à base encontrada. Resposta correta: B) [(0,1,0); (1,0,-1)].