4) Determina (caso exista) a inversa de cada matriz abaixo, pela definição de inversa : D) 1 4 5 2 0 -2 -3 -1 -1

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Neste exercício, será invertida a seguinte matriz:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & -2 \\ -3 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix}\)

Pela definição, tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 & | & 1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & -2 & | & 0 & 1 & 0 \\ -3 & -1 & -1 & | & 0 & 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}\)

O objetivo é transformar a matriz da esquerda em uma matriz identidade.

1. Multiplicando a equação \((I)\) por 6, a equação \((II)\) por 3 e a equação \((III)\) por 2, a nova matriz é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 6 & 24 & 30 & | & 6 & 0 & 0 \\ 6 & 0 & -6 & | & 0 & 3 & 0 \\ -6 & -2 & -2 & | & 0 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}\)

Realizando as operações \((I)-(II)\) e \((I)+(III)\), as novas linhas \((II)\) e \((III)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 6 & 24 & 30 & | & 6 & 0 & 0 \\ 0 & 24 & 36 & | & 6 & -3 & 0 \\ 0 & 22 & 28 & | & 6 & 0 & 2 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}\)

2. Multiplicando a equação \((I)\) por 11, a equação \((II)\) por 11 e a equação \((III)\) por 12, a nova matriz é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 66 & 264 & 330 & | & 66 & 0 & 0 \\ 0 & 264 & 396 & | & 66 & -33 & 0 \\ 0 & 264 & 336 & | & 72 & 0 & 24 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}\)

Realizando as operações \((II)-(I)\) e \((II)-(III)\), as novas linhas \((I)\) e \((III)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} -66 & 0 & 66 & | & 0 & -33 & 0 \\ 0 & 264 & 396 & | & 66 & -33 & 0 \\ 0 & 0 & 60 & | & -6 & -33 & -24 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}\)

3. Multiplicando a equação \((I)\) por 6 e a equação \((III)\) por 6,6, a nova matriz é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} -396 & 0 & 396 & | & 0 & -198 & 0 \\ 0 & 264 & 396 & | & 66 & -33 & 0 \\ 0 & 0 & 396 & | & -39,6 & -217,8 & -158,4 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}\)

Realizando as operações \((III)-(I)\) e \((III)-(II)\), as novas linhas \((I)\) e \((II)\) são:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 396 & 0 & 0 & | & -39,6 & -19,8 & -158,4 \\ 0 & -264 & 0 & | & -105,6 & -184,8 & -158,4 \\ 0 & 0 & 396 & | & -39,6 & -217,8 & -158,4 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}\)

Por último, dividindo a equação \((I)\) por 396, a equação \((II)\) por -264 e a equação \((III)\) por 396, a nova matriz é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & | & -0,1 & -0,05 & -0,4 \\ 0 & 1 & 0 & | & 0,4 & 0,7 & 0,6 \\ 0 & 0 & 1 & | & -0,1 & -0,55 & -0,4 \\ \end{bmatrix} \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ (III) \end{matrix}\)

Portanto, a matriz inversa é:

\(\Longrightarrow \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & -2 \\ -3 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} -0,1 & -0,05 & -0,4 \\ 0,4 & 0,7 & 0,6 \\ -0,1 & -0,55 & -0,4 \\ \end{bmatrix}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ \begin{bmatrix} 1 & 4 & 5 \\ 2 & 0 & -2 \\ -3 & -1 & -1 \\ \end{bmatrix}^{-1} ={1 \over 20} \begin{bmatrix} -2 & -1 & -8 \\ 8 & 14 & 12 \\ -2 & -11 & -8 \\ \end{bmatrix} $}\)