Vamos calcular o limite: \[ \lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{7 - \frac{1}{x}}}{x - 7} \] Passo 1: Analisar o comportamento da função no ponto \(x = 7\) Substituindo diretamente \(x = 7\): \[ 7 - \frac{1}{7} = 7 - \frac{1}{7} = \frac{49 - 1}{7} = \frac{48}{7} \] Então, \[ \frac{1}{7 - \frac{1}{7}} = \frac{1}{\frac{48}{7}} = \frac{7}{48} \] O denominador é: \[ x - 7 = 7 - 7 = 0 \] Portanto, a expressão fica: \[ \frac{\frac{7}{48}}{0} = \text{indeterminado (divisão por zero)} \] Ou seja, a forma é do tipo \(\frac{\text{constante}}{0}\), o que indica que o limite pode tender a infinito ou não existir. Passo 2: Verificar o limite lateral - Para \(x \to 7^+\) (valores maiores que 7): \[ x - 7 > 0 \] O numerador, como vimos, tende a \(\frac{7}{48} > 0\). Então, \[ \frac{\frac{7}{48}}{x - 7} \to +\infty \] - Para \(x \to 7^-\) (valores menores que 7): \[ x - 7 < 0 \] O numerador continua \(\frac{7}{48} > 0\). Então, \[ \frac{\frac{7}{48}}{x - 7} \to -\infty \] Passo 3: Conclusão Os limites laterais são diferentes: \[ \lim_{x \to 7^+} = +\infty \quad \text{e} \quad \lim_{x \to 7^-} = -\infty \] Portanto, o limite não existe porque os limites laterais não coincidem. --- Resposta final: \[ \boxed{ \lim_{x \to 7} \frac{\frac{1}{7 - \frac{1}{x}}}{x - 7} \text{ não existe, pois os limites laterais são infinitos e de sinais opostos.} } \]