Considere a função f(x) = (2x + 4) / (x² − x − 6). Determine todas as assíntotas verticais do gráfico de f(x), explicitando os cálculos realizados.

Vamos determinar as assíntotas verticais da função \( f(x) = \frac{2x + 4}{x^2 - x - 6} \). Passo 1: Encontrar os valores de \( x \) que anulam o denominador O denominador é \( x^2 - x - 6 \). Vamos fatorar: \[ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) \] Passo 2: Encontrar os valores que anulam o denominador \[ x - 3 = 0 \implies x = 3 \] \[ x + 2 = 0 \implies x = -2 \] Passo 3: Verificar se o numerador também anula nesses pontos - Para \( x = 3 \): \[ 2(3) + 4 = 6 + 4 = 10 \neq 0 \] - Para \( x = -2 \): \[ 2(-2) + 4 = -4 + 4 = 0 \] Como o numerador é zero em \( x = -2 \), pode haver uma simplificação. Passo 4: Simplificar a função Vamos fatorar o numerador: \[ 2x + 4 = 2(x + 2) \] Então, \[ f(x) = \frac{2(x + 2)}{(x - 3)(x + 2)} = \frac{2 \cancel{(x + 2)}}{(x - 3) \cancel{(x + 2)}} = \frac{2}{x - 3}, \quad x \neq -2 \] Passo 5: Conclusão sobre as assíntotas verticais - Em \( x = -2 \), a função tem uma removível (buraco), pois o fator \( (x + 2) \) foi cancelado. - Em \( x = 3 \), o denominador é zero e o numerador não é zero, logo, há uma assíntota vertical em \( x = 3 \). Resposta final: A função possui uma assíntota vertical em \( x = 3 \). Em \( x = -2 \), há uma descontinuidade removível (buraco), não uma assíntota.