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Geometria Analítica

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A transposta de uma matriz A deve possuir todos os elementos que a matriz A (original) possui, porém, dispostos em uma condição que "troca" os elementos das linhas da matriz A para colunas da matriz transposta, indicada por At. Esta matriz especial possui algumas propriedades importantes. Sobre o exposto, avalie as asserções a seguir:
Avalie as asserções a seguir:
I) (-A)t = - (At) é verdadeiro, pois observa-se que a matriz apenas foi multiplicada por (-1).
II) (A+B)t = Bt + At é verdadeiro, pois os elementos das matrizes A e B são iguais.
A As asserções são verdadeiras, porém a justificativa dada na II é falsa.
B As asserções I e II são falsas.
C A asserção I é verdadeira, porém, a II é falsa.
D A asserção I é falsa e a II é verdadeira.

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Vamos analisar as asserções: I) (-A)^t = - (A^t) Isso é verdadeiro. A transposta de uma matriz multiplicada por -1 é igual a -1 vezes a transposta da matriz. A justificativa está correta. II) (A + B)^t = B^t + A^t A igualdade é verdadeira, pois a transposta da soma é a soma das transpostas. Porém, a justificativa "pois os elementos das matrizes A e B são iguais" é falsa, pois essa propriedade vale para quaisquer matrizes A e B de mesma dimensão, independentemente dos elementos serem iguais ou não. Portanto: - As asserções são verdadeiras, mas a justificativa da II é falsa. Resposta correta: A) As asserções são verdadeiras, porém a justificativa dada na II é falsa.

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Um sistema linear é homogêneo quando os coeficientes, independente de todas as suas equações lineares, são iguais a zero. Esse tipo de sistema possui pelo menos uma solução possível, pois podemos obter como resultado o terno (0, 0, 0), que chamamos de solução nula ou trivial. O sistema dado pela multiplicação matricial a seguir é homogêneo.
Analise as sentenças a seguir:
I. Neste sistema, temos que necessariamente, x = y = 0.
II. Neste sistema, temos que necessariamente, x = y e m = n.
III. Neste sistema, temos que necessariamente, y = -2x e n = -2m.
IV. Neste sistema, temos que necessariamente, x = -2y e m = -2n.
A Somente a sentença III está correta.
B Somente a sentença IV está correta.
C Somente a sentença II está correta.
D Somente a sentença I está correta.

A matemática é repleta de regras e fórmulas, e cada uma foi criada visando facilitar a vida do ser humano. Os estudos sobre a matriz vêm desde o século XIX e trazem uma nova experiência ao campo da matemática. Sobre as matrizes e os elementos associados, classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
Classifique V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas:
O determinante de uma matriz triangular superior é dado pela multiplicação dos termos da diagonal principal.
Ao permutar duas linhas de uma matriz, o determinante dessa matriz não muda de sinal.
O determinante de uma matriz com duas linhas ou colunas iguais é zero.
Se todos os elementos de uma linha ou de uma coluna de uma matriz forem iguais a 1, então o determinante dessa matriz será igual a zero.
A F - V - F - V.
B F - V - F - F.
C V - F - V - F.
D V - F - V - V.

As propriedades dos determinantes permitem que possamos realizar diversos cálculos sem a necessidade de operacionalizá-los. Um exemplo disso é o fato em que se o determinante de uma matriz A qualquer é igual a 5, se multiplicarmos uma linha da matriz por 2, o determinante da nova matriz passa a ser igual a 10. Visto isso, seja A uma matriz quadrada de ordem 2 e B uma matriz quadrada de ordem 3, tais que detA . detB = 1, o valor de det(3A) . det(2B) é:
Calcule o valor de det(3A) . det(2B):
A 36.
B 6.
C 72.
D 5.

Matriz quadrada é a que tem o mesmo número de linhas e de colunas. Esse tipo especial de matriz possui um número real associado. A este número real, damos o nome de determinante da matriz. Baseado nisso, sabendo que o determinante de uma matriz é igual a 2, qual o valor do novo determinante, obtido pela troca de posição de linhas entre si?
Qual o valor do novo determinante, obtido pela troca de posição de linhas entre si?
A 1/2.
B -2.
C 2.
D 4.