Determine a equação do plano tangente à esfera x²+y²+z²=50 no ponto P(3,4,5).

Para equacionar o plano basta lembrar da equação do plano:
a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0

Como são"3" variáveis utilizamos a fórmula:
Fx(P)(x-x0)+Fy(P)(y-y0)+Fz(P)(z-z0) = 0

→ Tendo x²+y²+z²=50 para P <3,4,5>

Para a equação tangente do ponto P temos:

1º Tiramos todas as derivadas:

Fx = 2x
Fy = 2y
Fz = 2z

2º Aplicamos os valores em P:

Fx(P) = 2 . 6 = 12
Fy(P) = 2 . 4 = 16
Fz(P) = 2 . 5 = 10

3º Substituímos os valores e chegamos a equação tangente:

12(x-3)+16(y-4)+10(z-5) = 50

No segndo passo, quando multiplica-se o valores das derivadas parciais (Fx, Fy, Fz) pelos valores de P (3,4,5) não deveria ficar: Fx(P) = 2 . 3 = 6?

6(x-3) + 16(y-4) + 10(z-5)

Seja \(z=f(x,y)\) uma função diferenciável em \((x_0,y_0)\). A equação do plano tangente é:

\(\Longrightarrow z_{tan} = f(x_0,y_0) + {df(x_0,y_0) \over dx}(x-x_0) + {df(x_0,y_0) \over dy}(y-y_0)\)    \((I)\)

Pelo enunciado, a equação \(z=f(x,y)\) é:

\(\Longrightarrow x^2 + y^2 + z^2 = 50\)

\(\Longrightarrow z^2 = 50 - x^2 - y^2\)

\(\Longrightarrow z =f(x,y) = \sqrt {50 - x^2 - y^2 }\)

A derivada \({df(x,y) \over dx}\) é:

\(\Longrightarrow {df(x,y) \over dx} = {d \over dx}\Big [ \sqrt{50 - x^2 - y^2} \Big ]\)

\(\Longrightarrow {df(x,y) \over dx} = {d \over dx}\Big [ (50 - x^2 - y^2)^{1 \over 2} \Big ]\)

\(\Longrightarrow {df(x,y) \over dx} = {1 \over 2} (50 - x^2 - y^2)^{{1 \over 2}-1}\cdot { d \over dx} (50-x^2 - y^2)\)

\(\Longrightarrow {df(x,y) \over dx} = {1 \over 2 \sqrt{50 - x^2 - y^2}} \cdot (-2x)\)

\(\Longrightarrow {df(x,y) \over dx} = {-x \over z}\)

Analogamente, a derivada \({df(x,y) \over dy}\) é:

\(\Longrightarrow {df(x,y) \over dy} = {-y \over z}\)

Para \(P=(x_0,y_0,z_0) = (3,4,5)\), os valores de \({df(x_0,y_0) \over dx}\) e \({df(x_0,y_0) \over dy}\) são:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} {df(x_0,y_0) \over dx}=-{x_0 \over z_0} \\ {df(x_0,y_0) \over dy} = -{y_0 \over z_0} \end{matrix} \right.\)    \(\rightarrow \left \{ \begin{matrix} {df(x_0,y_0) \over dx}=-{3 \over 5} \\ {df(x_0,y_0) \over dy} = -{4 \over 5} \end{matrix} \right.\)

Portanto, a equação \((I)\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow z_{tan} = f(x_0,y_0) + {df(x_0,y_0) \over dx}(x-x_0) + {df(x_0,y_0) \over dy}(y-y_0)\)

\(\Longrightarrow z_{tan} = z_0 - {3 \over 5}(x-3) - {4 \over 5}(y-4)\)

\(\Longrightarrow z_{tan} = 5 - {3 \over 5}x+{3 \over 5}\cdot 3 - {4 \over 5}y + {4 \over 5} \cdot 4\)

\(\Longrightarrow z_{tan} = - {3 \over 5}x - {4 \over 5}y+5 +{9 \over 5} + {16 \over 5}\)

\(\Longrightarrow z_{tan} = - {3 \over 5}x - {4 \over 5}y+5 +{25 \over 5}\)

Multiplicando a equação por 5, a equação do plano tangente é:

\(\Longrightarrow 5z_{tan} = - 3x - 4y+5 \cdot 5 +25\)

\(\Longrightarrow 5z = - 3x - 4y+50\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ 3x+4y + 5z -50 = 0 $}\)