Encontre a equação do plano tangente à esfera no ponto P0 = (x0 , y0 , z0). a

Para encontrar a equação do plano tangente à esfera no ponto P0 = (x0, y0, z0), é necessário seguir os seguintes passos: 1. Encontre a equação da esfera em questão. 2. Calcule o gradiente da equação da esfera. 3. Substitua as coordenadas do ponto P0 na equação do gradiente para encontrar o vetor normal ao plano tangente. 4. Use o vetor normal e as coordenadas do ponto P0 para escrever a equação do plano tangente. Suponha que a equação da esfera seja dada por: (x - a)² + (y - b)² + (z - c)² = r² Onde (a, b, c) é o centro da esfera e r é o seu raio. O gradiente da equação da esfera é dado por: grad(f) = (2(x - a), 2(y - b), 2(z - c)) Substituindo as coordenadas do ponto P0 na equação do gradiente, temos: n = grad(f)(P0) = (2(x0 - a), 2(y0 - b), 2(z0 - c)) O vetor normal ao plano tangente é dado por n. A equação do plano tangente é dada por: n.(r - P0) = 0 Onde r é um ponto qualquer pertencente ao plano tangente. Substituindo as coordenadas do ponto P0 e do vetor normal n, temos: 2(x0 - a)(x - x0) + 2(y0 - b)(y - y0) + 2(z0 - c)(z - z0) = 0 Simplificando, temos: (x - x0)(x0 - a) + (y - y0)(y0 - b) + (z - z0)(z0 - c) = r² - (x0 - a)² - (y0 - b)² - (z0 - c)² Essa é a equação do plano tangente à esfera no ponto P0 = (x0, y0, z0).