a area delimitada entre as curvas f(y)=y²/2 e g(y)=y+5 é

Para resolver o método mais facil seria pela integral de y²/2 - a integral de y+5, dos mesmo intervalos...
resolvendo teriamos:

integral de y²/2 => 1/2*y³/3 => = y³/6 

integral de y+5 => y²/2 +5y 

tendo os intervalos é só substituir ([y1]³/6 - [y0]³/6) - ( {[y1]²/2 +5[y1]} - {[y0]²/2 + 5[y0]})

ex: 
y0 = 1

y1 = 2

([y1]³/6 - [y0]³/6) - ( {[y1]²/2 +5[y1]} - {[y0]²/2 + 5[y0]})

(2³/6 - 1³/6) - ((2²/2 +5*2) - ( 1²/2 +5*1)) = (8/6 - 1/6) - (( 2 + 10) - (1/2 +5))

=> 7/6 - 13/2 => -5.3333 u.m.

neste caso deu valor negativo pois neste intervalo a função G esta com valores maiores que F no grafico.

obrgado!!

Para encontrar a área delimitada pelas curvas realizaremos os cálculos abaixo:

\(\begin{align} & A=\int_{-2,3}^{4,3}{\frac{{{y}^{2}}}{2}-y-5}dy \\ & A=\int_{-2,3}^{4,3}{\frac{{{y}^{3}}}{6}-\frac{{{y}^{2}}}{2}-5y} \\ & A=\left[ \frac{{{y}^{3}}}{6}-\frac{{{y}^{2}}}{2}-5y \right]_{-2,3}^{4,3} \\ & A=\left( 13,2-9,2-21,5 \right)-\left( -2,02-2,64+11,5 \right) \\ & A=-17,5-(6,84) \\ & A=24,34 \\ \end{align} \)

Portanto, a área da curva será \(\boxed{ 24,34}\).