Determine se o limite existe. Se existir, determine seu valor:

Neste exercício, será calculado o seguinte limite:

\(\Longrightarrow \underset{(x,y) \to (0,0)} \lim\,\, {xy \over 3x^2 + 2y^2} \)

Primeiro, vamos analisar o limite se \((x,y)\) se aproximar de \((0,0)\) pelo eixo x (ou seja, por \(y=0\)). Com isso, o resultado é:

\(\Longrightarrow \underset{x \to 0 \\ y=0} \lim\,\, {xy \over 3x^2 + 2y^2} = \underset{x \to 0} \lim\,\, {x\cdot 0 \over 3x^2 + 2\cdot 0^2}\)

                           \(= \underset{x \to 0} \lim\,\, {0 \over 3x^2}\)

                           \(= \underset{x \to 0} \lim\,\, 0\)

\(\Longrightarrow \underset{x \to 0 \\ y=0} \lim\,\, {xy \over 3x^2 + 2y^2} =0\)    \((I)\)

Porém, se \((x,y)\) se aproximar de \((0,0)\) através da reta \(y=x\), o resultado é:

\(\Longrightarrow \underset{x \to 0 \\ y=x} \lim\,\, {xy \over 3x^2 + 2y^2} = \underset{x \to 0} \lim\,\, {x\cdot x \over 3x^2 + 2 x^2}\)

                           \(= \underset{x \to 0} \lim\,\, {x^2 \over 5x^2 }\)

                           \(= \underset{x \to 0} \lim\,\, {1 \over 5 }\)

\(\Longrightarrow \underset{x \to 0 \\ y=x} \lim\,\, {xy \over 3x^2 + 2y^2} = {1 \over 5}\)        \((II)\)

Para o limite de uma função existir, é necessário que ela seja igual para todas as aproximações. Porém, pelas equações \((I)\) e \((II)\), nota-se que as duas aproximações propostas resultaram em valores diferentes.

Concluindo, o limite \(\underset{(x,y) \to (0,0)} \lim\,\, {xy \over 3x^2 + 2y^2} \) não existe, ou seja:

\(\Longrightarrow \fbox {$ \underset{(x,y) \to (0,0)} \lim\,\, {xy \over 3x^2 + 2y^2} = \nexists $}\)