como acho os limites de integração?
Acredito que a melhor forma de resolver seja usando coordenadas esféricas.
Veja que E está contido entre duas esferas - uma de raio 3 e outra de raio 1 - e no primeiro octante. Gráficamente, seria algo parecido com essa imagem: http://i.imgur.com/pJ4Yng7.png (desculpe pela falta de habilidade artística...)
Dessa forma, fica fácil encontrar os limites.
- Como E está entre duas esferas, 1 ≤ ρ ≤ 3;
- Como E está no primeiro octante, 0 ≤ φ ≤ (π/2);
- Como E está no primeiro octante, 0 ≤ θ ≤ (π/2).
A integral, então, poderá ser reescrita da seguinte forma:
∫(0→π/2)∫(0→π/2)∫(1→3) ρ cosφ ρ² sinφ dρ dφ dθ
(Integral de 0 a π/2, integral de 0 a π/2, integral de 1 a 3)
Espero ter ajudado!
Queremos resolver a seguinte integral:
\(I=\int\int\limits_D\int z\ dV\)
Vamos fazer a mudança de variáveis para coordenadas esféricas:
\(r=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\\ z = r\cos\theta\)
De forma que ficamos com a região D determinada por:
\(1<r<3\\ 0<\theta<{\pi\over2}\\ 0<\varphi<{\pi\over2}\\\)
E com a integral:
\(I=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}\int_1^3 r\ cos\ \theta\ r^2sen\ \varphi drd\varphi d\theta\)
Separando somente os termos dependentes da variável mais interna, temos:
\(\begin{align} I&=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\int_1^3 r^3 drd\varphi d\theta\\ &=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\left[{r^4\over4}\right]_1^3 d\varphi d\theta\\ &=\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi\left[{3^4\over4}-{1^4\over4}\right] d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ \end{align}\)
Separando somente os termos dependentes da variável mais interna, temos:
\(\begin{align} I&=20\int_0^{\pi\over2}\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\int_0^{\pi\over2}\ sen\ \varphi d\varphi d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\left[-cos\ \varphi\right]_0^{\pi\over2} d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta\left[-cos\ {\pi\over2}+cos\ 0\right] d\theta\\ &=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta d\theta\\ \end{align}\)
Integrando na última variável, temos:
\(\begin{align} I&=20\int_0^{\pi\over2}cos\ \theta d\theta\\ &=20\left[sen\ \theta\right]_0^{\pi\over2}\\ &=20\left[sen\ {\pi\over2}-sen\ 0\right]\\ \end{align}\)
Temos, portanto, que a integral procurada é:
\(\boxed{I=20}\)
Para escrever sua resposta aqui, entre ou crie uma conta
Compartilhar