Encontrar a raiz de f(x) = x2 − 3, contida no intervalo [1; 2], com erro ≤ 10-2

Para resolver este problema, devemos colocar em prática nosso conhecimento sobre o Cálculo Numérico, mais especificamente sobre o Método da Bisseção.

A partir do princípio de que se uma função contínua \(f(x)\) definida em \([a,b]\), tendo \(f(a)\) e \(f(b)\) sinais opostos (\(f(a)\cdot f(b)<0\)), então a função possui pelo menos uma raiz no intervalo \([a,b]\), o Método da Bisseção consiste em dividir o intervalo em um ponto médio \(c=\dfrac{a+b}2\) e então verificar em qual dos dois subintervalos garante-se a existência de uma raiz.

Assim:

\(\begin{align} f(1)&=1^2-3 \\&=-2 \end{align}\)

\(\begin{align} f(2)&=2^2-3 \\&=1 \end{align}\)

\( \begin{align} x_0&=\dfrac{1+2}{2} \\&=1,5 \end{align}\)

\(\begin{align} f(1,5)&=1,5^2-3 \\&=-0,75>10^{-2} \end{align}\)

Logo, \(f(2)\cdot f(1,5)<0\) e daí, iterando novamente:

\( \begin{align} x_1&=\dfrac{1,5+2}{2} \\&=1,75 \end{align}\)

\(\begin{align} f(1,75)&=1,5^2-3 \\&=0,0625>10^{-2} \end{align}\)

Verifica-se que \(f(1,5)\cdot f(1,75)<0\), então:

\( \begin{align} x_2&=\dfrac{1,75+1,5}{2} \\&=1,625 \end{align}\)

\(\begin{align} f(1,625)&=1,625^2-3 \\&=-0,36>10^{-2} \end{align}\)

Como \(f(1,625)\cdot f(1,75)<0\):

\( \begin{align} x_3&=\dfrac{1,625+1,75}{2} \\&=1,6875 \end{align}\)

\(\begin{align} f(1,6875)&=1,625^2-3 \\&=-0,15>10^{-2} \end{align}\)

Tem-se que \(f(1,6875)\cdot f(1,75)<0\), então:

\( \begin{align} x_4&=\dfrac{1,6875+1,75}{2} \\&=1,71875 \end{align}\)

\(\begin{align} f(1,71875)&=1,71875^2-3 \\&=-0,046>10^{-2} \end{align}\)

Pelo fato de \(f(​​1,71875)\cdot f(1,75)<0\), vem que:

\( \begin{align} x_5&=\dfrac{1,71875+1,75}{2} \\&=1,734375 \end{align}\)

\(\begin{align} f(1,734375)&=1,734375^2-3 \\&=-0,00805<10^{-2} \end{align}\)

Portanto, \(\boxed{1,734375}\) é uma raiz de \(f(x)=x^2-3\) contida no intervalo \([1,\text{ }2]\) com erro menor que \(10^{-2}\).