derive implícitamente x^4 (x + y) = y^2 (3x - y)

Derivar implicitamente nada mais é que derivar normalmente usando a regra da cadeia onde aparece a variável dependente. Vamos lá!

\({d\over dx}\left[x^4 (x + y)\right] = {d\over dx}\left[y^2 (3x - y)\right]\)

Usando a regra do produto, temos:

\({d\over dx}\left[x^4\right] (x + y)+x^4{d\over dx}\left[x + y\right] = {d\over dx}\left[y^2 \right](3x - y)+y^2{d\over dx}\left[ 3x - y\right]\)

Usando a regra do tombo e da cadeia, temos:

\(4x^3 (x + y)+x^4\left(1+{dy\over dx}\right) = 2y{dy\over dx}(3x - y)+y^2\left( 3x - {dy\over dx}\right)\)

Expandindo os termos que contém a derivada, temos:

\(4x^3 (x + y)+x^4+x^4{dy\over dx} = 2y{dy\over dx}(3x - y)+3xy^2 - y^2{dy\over dx}\)

Agrupando os termos que contém a derivada, temos:

\(\begin{align} \left[x^4-2y(3x - y)+y^2\right]{dy\over dx}&=\left[3xy^2-4x^3 (x + y)-x^4\right]\\ \left(x^4-6xy +3y^2\right){dy\over dx}&=x\left(3y^2-4x^2 y-5x^3\right)\\ \end{align}\)

Finalmente, temos:

\(\boxed{{dy\over dx}={x\left(3y^2-4x^2 y-5x^3\right)\over x^4-6xy +3y^2}}\)