como resolver esse exercicio de algebra assunto retas

Uma reta r qualquer possui a forma r: X(t)= (xo,yo,zo) +(a,b,c)t, sendo (xo,yo,zo) um ponto qualquer e (a,b,c) o seu vetor diretor da reta. Logo, para a) r: X(t)= (2,3,-4) +(1,-2,3)t

b) Com a equação da reta obtida basta substituir os pontos para t=1 e t=4, ou seja, X(1)= (2,3,-4) +(1,-2,3).1 » X(1)=(2+1,3-2,-4+3) » X(1)=(3,1,-1), da mesma forma para t=4 iremos obter X(4)=(2,3,-4) + (1,-2,3).4 » X(4)=(2,3,-4) + (4,-8,-16) » X(4)=(6,-5,-20).

c) como você quer o ponto cuja a abscissa vale 4, então você procura o ponto P=(4,y,z), dito isso é só substituir na fórmula; (4,y,z) = (2,3,-4) + (1,-2,3)t » (4,y,z) = (2,3,-4) + (t,-2t,3t) » (4,y,z) = (2+t,3-2t,-4+3t). Como é uma igualdade, cada elemento da esquerda é igual ao da direita, ou seja: 4=2+t; y=3-2t; z=-4+3t; isolando t na primeira equação obtemos t=2, achado o valor de t, basta substituir nas equações restantes, y=3-2.2 » y=-1 e z=-4+3.2 » z=2. Logo seu ponto P=(4,y,z)=(4,-1,2).

d) D=(4,-1,2), assim como na c) basta substituir na fórmula, só que dessa vez iremos verificar se o sistema resultante da igualdade é possível, bem vamos lá: (4,-1,2)= (2,3,-4) + (1,-2,3)t » (4,-1,2)= (2+t,3-2t,-4+3t), então: 4=2+t; -1=3-2t e 2=-4+3t, para a primeira obtemos t=2, para a segunda -1-3=-2t » -4=-2t » t=2, para a terceira obtemos 2+4=3t » 6=3t » t=2. Como obtemos o t=2 nas 3 igualdades, o ponto faz parte da reta.

Para o ponto "E" o pensamento é o mesmo do ponto "D", caso o t encontrado seja igual nas 3 equações do sistema, o ponto pertence a reta, caso algum seja diferente, o ponto não pertence a reta.

e) A forma de resolução será no mesmo estilo da letra c) então acredito que você consiga fazer agora.

f) a equação paramétrica de uma reta é da forma 

x= xo +at

y= yo +bt

z= zo +ct

Sendo (xo,yo,zo) seu ponto, e (a,b,c) seu vetor diretor, como o ele quer que passe pelo ponto G = (5, 2, -4) e sendo paralelo a reta r, então o seu vetor direitor será novamente v = (1, -2, 3), pois sendo paralelo possui o mesmo angulo, Logo, a sua equação paramétrica da reta s será:

x= 5 +t

y= 2 -2t

z= -4 +3t

g) Dica: Como é paralela ao eixo y, então um ponto um ponto da reta será P=(x,0,z)

h) Dica: Dados dois pontos você pode fazer um vetor diretor da reta, tendo o vetor diretor e um ponto qualquer basta jogar na fórmula das equações paramétricas.

Bem, as últimas 2 letras.....eu cansei rsrs. Espero ter dado uma ajuda, um abraço.

1.

1. A equação vetorial da reta r tem a forma: 

Na qual A é um ponto pertencente à reta r, v um vetor paralelo à r e t um parâmetro peretencente aos números reais, que indica que os anteriores são linearmente dependentes.

Substituindo o ponto A = (2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3):

1. Substituindo t = 1 e t = 4 na equação encontrada, obtém-se:

1. Reescrevendo a equação vetorial da reta r na forma das equações paramétricas, têm-se:

No ponto x = 4, tem-se:

Substituindo t = 2 nos pontos y e z:

Assim, obtém-se o ponto:

1. Substituindo o ponto D = (4,-1,2) nas equações paramétricas da reta r, obtêm-se os seguintes valores de t:

Como t = 2 satisfaz as três equações,

Fazendo-se o mesmo com o ponto E = (5,-4,3), obtêm-se:

Como as três equações não são satisfeitas com o mesmo valor de t, 

1. Substituindo a coordenada y do ponto F = (m,5,n) na equação paramétrica da reta r correspondente, obtém-se o seguinte valor de t:

Utilizando o valor de t encontrado nas equações das coordenadas x e z:

Assim, o ponto F pertence à reta r com as coordenadas:

1. De forma geral, as equações paramétricas de uma reta são representadas por um ponto  e um vetor V = (a,b,c) e tem a forma:

Como a reta s é paralela à reta r, ela pode ser representada pelo mesmo vetor diretor v = (1,-2,3). 

Assim, considerando o ponto G = (5,2,-4) e o vetor v, as equações paramétricas da reta s são dadas por:

1. Como a reta t é paralela ao eixo y, ela tem a direção do vetor u = (0,1,0).

Considerando também o ponto A = (2,3,-4), as equações paramétricas da reta t podem ser escritas como:

2. Considerando os pontos A = (3,-1,-2) e B = (-2,3,6), pode-se obter o segmento de reta AB, dado por:

Considerando o ponto A e o vetor AB, as equações paramétricas da reta r são dadas por:

Para resolver o exercício, serão utilizados os conceitos de equação vetorial da reta r e equação paramétrica da reta r.

1. A equação vetorial da reta r tem a forma:



2. Na qual A é um ponto pertencente à reta r, v um vetor paralelo à r e t um parâmetro peretencente aos números reais, que indica que os anteriores são linearmente dependentes.





3. Substituindo o ponto A = (2, 3, -4) e o vetor v = (1, -2, 3):

4. Substituindo t = 1 e t = 4 na equação encontrada, obtém-se:












5. Reescrevendo a equação vetorial da reta r na forma das equações paramétricas, têm-se:



6. No ponto x = 4, tem-se:



7. Substituindo t = 2 nos pontos y e z:



8. Assim, obtém-se o ponto:





9. Substituindo o ponto D = (4,-1,2) nas equações paramétricas da reta r, obtêm-se os seguintes valores de t:






10. Como t = 2 satisfaz as três equações,

11. Fazendo-se o mesmo com o ponto E = (5,-4,3), obtêm-se:



12. Como as três equações não são satisfeitas com o mesmo valor de t,





13. Substituindo a coordenada y do ponto F = (m,5,n) na equação paramétrica da reta r correspondente, obtém-se o seguinte valor de t:



14. Utilizando o valor de t encontrado nas equações das coordenadas x e z:



15. Assim, o ponto F pertence à reta r com as coordenadas:





16. De forma geral, as equações paramétricas de uma reta são representadas por um ponto e um vetor V = (a,b,c) e tem a forma:



17. Como a reta s é paralela à reta r, ela pode ser representada pelo mesmo vetor diretor v = (1,-2,3).

18. Assim, considerando o ponto G = (5,2,-4) e o vetor v, as equações paramétricas da reta s são dadas por:





19. Como a reta t é paralela ao eixo y, ela tem a direção do vetor u = (0,1,0).

20. Considerando também o ponto A = (2,3,-4), as equações paramétricas da reta t podem ser escritas como:





21. 2. Considerando os pontos A = (3,-1,-2) e B = (-2,3,6), pode-se obter o segmento de reta AB, dado por:



22. Considerando o ponto A e o vetor AB, as equações paramétricas da reta r são dadas por: