Determine a equação da reta tangente à curva y3+ x2 =0 que passa pelos pontos (1,-1) ??

y3+x2

Neste exercício, será determinada a reta tangente a uma dada curva. Para isso, será utilizada a derivação implícita na equação da curva \(y^3+x^2=0\).

Derivando a equação anterior em relação a x, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow {d\over dx}y^3+{d\over dx}x^2=0\)

\(\Longrightarrow {d\over dy}y^3{dy\over dx}​​+2x^{(2-1)}=0\)

\(\Longrightarrow 3y^2{dy\over dx}​​=-2x\)

\(\Longrightarrow {dy\over dx}​​=-{2x \over 3y^2}\)

O termo \({dy\over dx}​​\) representa a inclinação da reta, ou seja, o coeficiente angular \(a\) da reta tangente à curva \(y^3+x^2=0\). Para calcular seu valor, será utilizado o dado ponto cartesiano \((x=1,y=-1)\). Com isso, o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow {dy\over dx}​​=-{2(1) \over 3(-1)^2}\)

\(\Longrightarrow {dy\over dx}​​=-{2(1) \over 3(1)}\)

\(\Longrightarrow {dy\over dx}​​=-{2 \over 3}\)

\(\Longrightarrow a​​=-{2 \over 3}\)

Com isso, sabe-se que a equação geral da reta é:

\(\Longrightarrow y=ax+b\)

\(\Longrightarrow y=-{2\over 3}x+b\)

Para calcular o valor do coeficiente linear \(b\) da equação anterior, será utilizado o dado ponto cartesiano \((x=1,y=-1)\) que está contido na reta. Substituindo os valores conhecidos, seu valor é:

\(\Longrightarrow y=-{2\over 3}x+b\)

\(\Longrightarrow -1=-{2\over 3}1+b\)

\(\Longrightarrow b=-1+{2\over 3}\)

\(\Longrightarrow b=-{1\over 3}\)

Finalmente, pode-se escrever a equação completa da reta tangente. A equação completa é:

\(\Longrightarrow \fbox{$ y=-{2\over 3}x-{1\over 3}$}\)