Seja y + 5 y+ 6 y = 0 uma equação diferencial de 2 ordem. Qual a solução geral desta equação?

A solução geral da equacao será y = c1 e^-2x + c2 e^-3x, onde c1 e c2 são constantes,

Raízes -2 e -3

Neste exercício, será resolvida a seguinte equação diferencial:

\(\Longrightarrow y'' + 5y' + 6y = 0\)

Substituindo uma solução no formato \(y=ke^{\lambda x}\) (sendo \(k\) uma constante), tem-se o seguinte:

\(\Longrightarrow (ke^{\lambda x})'' + 5(ke^{\lambda x})' + 6(ke^{\lambda x}) = 0\)

\(\Longrightarrow \lambda^2ke^{\lambda x} + 5\lambda ke^{\lambda x} + 6ke^{\lambda x} = 0\)

\(\Longrightarrow \lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0\)

Portanto, com \(a=1\), \(b=5\) e \(c=6\), os valores de \(\lambda\) são:

\(\Longrightarrow \lambda = {-b \pm \sqrt{b^2-4ac} \over 2a}\)

\(\Longrightarrow \lambda = {-5 \pm \sqrt{5^2-4\cdot 1 \cdot 6} \over 2\cdot 1}\)

\(\Longrightarrow \lambda = {-5 \pm \sqrt{25-24} \over 2}\)

\(\Longrightarrow \lambda = {-5 \pm 1 \over 2}\)    \(\to \left \{ \begin{matrix} \lambda_1 = -2 \\ \lambda_2 = -3 \end{matrix} \right.\)

Portanto, a solução fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow y=k_1e^{\lambda_1x} + k_2e^{\lambda_2x}\)

\(\Longrightarrow \fbox {$ y=k_1e^{-2x} + k_2e^{-3x} $}\)

Sendo \(k_1\) e \(k_2\) constantes quaisquer.

Y=0