Determine a matriz (T)A,B, em relação ás bases A={(1,0,1),(0,1,1),(0,0,1)} e B={(1,0,0),(0,1,1),(0,0,1)} do IR³, sendo T(x,y,z)=(x+y,y-z,2x-y+z).

A transformação linear leva das coordenadas (x,y) da base { (1,0), (0,1) } para novas coordenadas (2x -y, x+ 3y, -2y) da base {(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1) } 
e a lei é: 

[a,b,c](transposto) = T [x,y](transposto) 

T = | 2 -1| 
------| 1 3 | 
------|0 -2| 


Vamos mudar da base E = {(1,0), (0,1)} pra {(-1,1),(2,1)} 
matriz mudança de E -> A 
M = [ -1 2 ] 
-------[ 1 1 ] 
(x,y) = M (x',y') 

Vamos mudar da base E = {(1,0,0), (0,1,0),(0,0,1)} pra B = [(0,0,1),(0,1,-1),(1,1,0)] 
matriz mudança de E -> B 
[a,b,c] = C [a',b',c'] 
C = [0 0 1] 
------[0 1 1] 
------[1 -1 0] 

Logo, temos:
[a,b,c] = T [x,y] 
C[a',b',c'] = TM (x',y') 
logo 
[a',b',c'] = Inversade(C)*T*M (x',y') 

e a matriz T na base A e B seria esse termo estranho (Inversa de (C)*T*M)