Trata-se de uma EDO de primeira ordem com coeficientes não constantes. Podemos tentar uma solução \(e^{ax^b}\) para a equação homogênea, em um primeiro momento, onde \(a,b \in \mathbb{R}\):

\(e^{ax^b} \cdot ab x^{b-1} + x^4 \cdot e^{ax^b} = 0 \\ ab x^{b-1} + x^4 = 0 \\ ab x^{b-1} = - x^4\\ \begin{cases}ab = -1 \\ b - 1 = 4\end{cases}\)

Logo, por solução, teremos:

\(b = 5, \ a = -\frac{1}{5}\)

O que nos dá a solução geral da homogênea:

\(y_g = -c \frac{e^{-\frac{x^5}{5}}}{5}, \ c \in \mathbb{R}\)

Para a solução particular, normalmente podemos jogar a solução geral da homogênea para encontrar uma particular, mas não está dando certo nesse caso...