Escreva −→w = (2, 9) como combinação de −→u = (−1, 1) e −→v = (3, 1)

(-1,1)x+(3,1)y=(2,9)

-x + 3y=2

x+y=9

Y=11/4 e x=25/4

Neste exercício, o vetor \(w=(2,9)\) será escrito como combinação dos vetores \(u=(-1,1)\) e \(v=(3,1)\). Essa combinação linear pode ser escrita da seguinte forma:

\(\Longrightarrow w=a\cdot u + b \cdot v\)

Portanto, é necessário calcular os valores de \(a\) e \(b\).

Conhecendo os vetores da equação anterior, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (2,9)=a\cdot (-1,1) + b \cdot (3,1)\)

\(\Longrightarrow (2,9)=(-a,a) + (3b,b)\)

A partir da equação resultante, pode-se escrever o seguinte sistema de equações:

\(\Longrightarrow \left \{ \begin{matrix} -a+3b=2 \\ a+b=9 \end{matrix} \right. \begin{matrix} (I) \\ (II) \\ \end{matrix}\)

Somando as duas equações anteriores, a equação resultante é:

\(\Longrightarrow (-a+3b)+(a+b)=2+9\) 

\(\Longrightarrow 4b=11\)

\(\Longrightarrow b={11 \over 4}\)

Substituindo o valor de \(b\) na equação \((I)\), o valor de \(a\) é:

\(\Longrightarrow a+b=9\)

\(\Longrightarrow a+{11 \over 4}={36 \over 4}\)

\(\Longrightarrow a={25 \over 4}\)

Finalemente, retornando à equação \(w=a\cdot u + b \cdot v\) e substituindo os valores de \(a\) e \(b\), o vetor \(w\) escrito como combinação  dos vetores \(u\) e \(v\) fica da seguinte forma:

\(\Longrightarrow \fbox {$ w={25 \over 4} u + {11 \over 4} v $}\)