como funciona multiplicação entre matrizes?

Podemos interpretar a multiplicação entre matrizes como o produto escalar do vetor-linha de uma com o vetor-coluna de outra. Exemplo:

\(A = \{\begin{matrix}1 & 2 \\ 3 & 4 \end{matrix}\} \\ B = \{\begin{matrix}5 & 6 \\ 7 & 8 \end{matrix}\}\)

O elemento da linha 1 e coluna 1 do produto será:

\((1,2) \cdot (5,7) = 19\)

O elemento da linha 1 e coluna 2 do produto será:

\((1,2) \cdot (6,8) = 22\)

O elemento da linha 2 e coluna 1 do produto será:

\((3,4) \cdot (5,7) = 43\)

O elemento da linha 2 e coluna 2 do produto será:

\((3,4) \cdot (6,8) = 50\)

Em resumo: "linha por coluna".

A multiplicação de matrizes é realizada de acordo com a seguinte condição: o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz. Observe alguns modelos de matrizes que podem ser multiplicadas, considerando o formato m x n. 

A_4x3 * B_3x1 

A_4x2 * B_2x3 

A_1x2 * B_2x2 

A_3x4 * B_4x3 

Nesse modelo de multiplicação, os métodos são mais complexos. Dessa forma, precisamos ter muita atenção na resolução de uma multiplicação de matrizes. Vamos através de exemplos, demonstrar como efetuar tais cálculos. A operação deverá ser feita multiplicando os membros da linha da 1º matriz pelos membros da coluna da 2º matriz, onde os elementos devem ser somados, constituindo um único item posicional da matriz. Observe um modelo padrão de multiplicação:

Exemplo 1

Realizamos uma multiplicação entre uma matriz A de ordem 2 x 3 por uma matriz B de ordem 3 x 2. Observe que a condição “o número de colunas da 1ª matriz deve ser igual ao número de linhas da 2ª matriz”, foi válida, pois 3 = 3. O interessante é que a matriz, produto da multiplicação, é de ordem 2 x 2, isto é, 2 linhas e 2 colunas, possuindo o mesmo número de linhas da 1ª e o mesmo número de colunas da 2ª. 

Portanto, todas essas condições são observadas na multiplicação entre matrizes. Caso alguma dessas condições não seja válida, a operação da multiplicação estará efetuada de forma incorreta. Sempre que realizar multiplicação entre matrizes, faça de forma atenciosa, desenvolvendo completamente o processo, procurando não utilizar meios diretos para obter o resultado.