Encontre f(x) tal que:

f(x) = e^x ou f(x) = exp(x)

Teria como você me mandar a sua resolução? por favor

Sabendo que o curso é de cálculo, talvez a solução aqui peque por falta de rigor matemático (tipo análise de diferenciabilidade e bla bla bla). Mas fica assim:

Seja F(x) = ∫f(x)dx e G(x) = ∫1/f(x) dx, logo:

F(x)G(x)=-1

G(x)=-1/F(x) -> deriva em relação a x nos dois lados
G'(x) = 1/F^2(x)*F'(x)
Mas G'(x)=1/f(x) e F'(x)=f(x), logo:
1/f(x)=1/F^2(x)*f(x)
F^2(x)=f^2(x)

Logo, chegamos a (*):
F(x)=f(x) ou F(x)=-f(x)
Isso, na verdade, é uma equação integral e as soluções são, respectivamente, exp(x) e exp(-x).

FIM

(*): Na verdade, é falso vc pular de F^2(x)=f^2(x) e chegar em [F(x)=f(x) ou F(x)=-f(x)]

Isso porque F(x) e f(x) não são um número, mas sim funções. Desse modo, pode ser que F(x)=f(x) para certos valores de x, e F(x)=-f(x) para outros valores de x. No entato, a função F é diferenciável, e com isso ela é contínua (pois ela é a integral de uma função). Dessa forma, o único jeito de definirmos F(x) da maneira que falei, de modo que ela seja continua, seria se os extremos dos intervalos de x onde a função deixa de ser f(x) e passa a ser -f(x) tivessem imagem 0 (se não pescou isso de primeira, pensa um pouco. Se eu fizer a inversão num ponto onde f(x)=3, então o limite de F(x) pela esquerda seria 3 e o limite pela direita seria -3, ou vice-versa, e isso faz com que F não seja continua).
Mas sabemos que f(x) não pode se anular em nenhum ponto, do contrário 1/f(x) não seria integrável. Isso conclui que F(x) não pode ser f(x) para alguns valores e -f(x) para outros, e por isso dizemos que [F(x)=f(x) ou F(x)=-f(x)] em todo o seu domínio.