Questão resolvida - Encontre a área delimitada pelo eixo X, pelo eixo y e pela curva x 1-t, y t - Universidade Federal do Rio Grande do Norte

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- Encontre a área delimitada pelo eixo , , pelo eixo y e pela curva.x
 
x = 1 - t2
y = t
 
Resolução:
 
Primeiro, vamos colocar em função de , já que se trata de uma curva que está em y x
coordenadas paramétricas;
Isolando na primeira equação;x
 
x = 1 - t 1 - t = x -t = x - 1 ⋅ -1 t = ±2 → 2 → 2 ( ) → 1 - x
 
O valor negativo é descnsiderado, já que estádentro da raiz na segunda equação;t
 
y = = 1 - x = 1 - x1 - x ( )
1
2
1
2
( )
⋅
1
2
1
2
 
y = 1 - x( )
1
4
 
Vamos encontrar onde a função toca nos eixos e , fazendo e ;x y x = 0 y = 0
 
x = 0 y = 1 - 0 y = 1 y = 1→ ( )
1
4 → ( )
1
4 →
 
y = 0 0 = 1 - x 1 - x = 0 1 - x = 0 1 - x = 0 -x = -1 ⋅ -1 x = 1→ ( )
1
4 → ( )
1
4
4
4
→ ( )
4
4 → → ( ) ( ) →
 
Conheceido os pontos onde a reta toca os eixos coordenados, temos que a região que 
queremos conhecer a área é;
 
 
(1)
Para conhecer a área dessa região, fazemos a integral entre e da expressão 1;0 1
 
A = 1 - x dx
1
0
∫ ( )
1
4
Primeiro, vamos resolver a integral em sua forma indefinida;
 
I = 1 - x dx∫( )
1
4
 
fazendo a substituinção : u = 1 - x du = -dx -dx = du ⋅ -1 dx = -du→ → ( ) ( ) →
I = u -du I = - u du = - = - = - = - u∫
1
4 ( ) → ∫
1
4
u
+ 1
+1
1
4
1
4
u
1 + 4
4
1+4
4
u
5
4
4
5
5
4
 mas : u = 1 - x, antão;
 
I = 1 - x + c
4
5
( )
5
4
 
 
Voltando para a integral definida e resolvendo, temos;
 
A = 1 - x dx = - 1 - x = - 1 - 1 - - 1 - 0 =
1
0
∫ ( )
1
4
4
5
( )
5
4
1
0
4
5
( )
5
4
4
5
( )
5
4
A = - 0 + 1 = ⋅ 1
4
5
( )
5
4
4
5
( )
5
4
4
5
 
A = u. a.
4
5
 
 
(Resposta)