Prove que em qualquer paralelogramo

Um paralelogramo tem lados opostos paralelos e de mesmo tamanho e ângulos opostos iguais. Assim, seja o paralelogramo ABCD com lados AB = CD = a e AD = BC = b, e diagonais AC = x e BD = y. Queremos provar que x² + y² = a² + a² + b² + b². Pela lei dos cossenos, temos

AC² = AB² + BC² - 2 AB BC cos (ABC)

Também temos que

BD² = AB² + AD² - 2 AB AD cos (BAD) 

Substituindo nessa última equação AD por BC e como cos (BAD) = cos (180 - ABC) = -cos (ABC), temos

BD² = AB² + BC² + 2 AB BC cos (ABC).

Somando esta equação com a primeira,

 AC² + BD² = AB² + BC² - 2 AB BC cos (ABC) + AB² + BC² + 2 AB BC cos (ABC) = AB² + AB² + BC² + BC².

 Assim,

 AC² + BD² = AB² + AB² + BC² + BC² ∴ x² + y² = a² + a² + b² + b².

utilizando a lei dos cossenos:

Lados: a, b, c, d
a = b
c = d

Diagonais: x, y

x² = a² + c² - 2ac.cos(X) ------------------> x² = a² + c² - 2ac.cos(X) 
y² = b² + d² - 2ac.cos(180 - X) ------------> y² = b² + d² + 2ac.cos(X)

Somando as equações, obtemos:
x² + y² = a² + c² + b² + d²
x² + y² = 2(a² + c²)