Determinar e classificar os pontos críticos da função f (x, y) = (2x 2 + y 2 ). e^1-x^2-y^2. Alguém sabe?

f(x, y) = x⁴ + (4y³ / 3) - 32x - 4y - 1 

∂f / ∂x = 4x³ - 32 
∂f / ∂y = 4y² - 4 

∂f / ∂x = 0 ⇒ 4x³ - 32 = 0 ⇒ x³ = 8 ⇒ x = ∛8 ⇒ x = 2 
∂f / ∂y = 0 ⇒ 4y² - 4 = 0 ⇒ y = ± √1 ⇒ y = ± 1 

Pontos críticos: (2, 1) e (2, -1) 

Classificando, temos:

H(x, y) 
[ (∂²f / ∂x²)(P) ........ (∂²f / ∂y∂x)(P) ] 
[ (∂²f / ∂x∂y)(P) ........ (∂²f / ∂y²)(P) ] 

∂²f / ∂x² = 12x² 
∂²f / ∂y² = 8y 
∂²f / ∂y∂x = 0 
∂²f / ∂x∂y = 0 

H(x, y) 
[12x² ..... 0] 
[ 0 ....... 8y] ⇒ 12x² . 8y = 96x²y 

H(2, 1) = 96x²y = 96 . 2² . 1 = 96 . 4 = 384 
H(2, 1) > 0 

∂²f / ∂x² = 12x² 
∂²f / ∂x² = 12 . 2² 
∂²f / ∂x² = 48 

H(2, 1) > 0 e (∂²f / ∂x²)(2, 1) > 0, (2, 1) é mínimo local 

H(2, -1) = 96x²y = 96 . 2² . (-1) = 96 . 4 . (-1) = -384 
H(2, -1) < 0, (2, -1) é ponto de sela 

Portanto,

(2, 1) é ponto mínimo local 
(2, -1) é ponto de sela

Obtemos um ponto crítico quando a primeira derivada de F em relação a x é zero e a primeira derivada de F em relação a y também é zero:
D1F(x,y)=2x-6=0=>x=3
D2f(x,y)=2y-2=0=>y=1
Assim o ponto (3,1) é o ponto crítico de F.

O ponto crítico pode ser máximo, mínimo ou ponto de sela. Para classificar o ponto:
Calculamos as derivadas parciais de segunda ordem:
D1,1F(3,1)=2
D1,2F(3,1)=0
D2,2F(3,1)=2

Montamos a chama matriz Hessiana 
|2 0|
|0 2|
Calculamos o determinante da matriz: Det H(3,1)=2.2-0.0=4
Como det>0 e D1,1F(3,1)=2>0 f admite um mínimo relativo em (3,1).