Determine classifique os pontos críticos de : f(x,y)=x²+3xy+4y²-6x+2y?

Os pontos críticos de f(x, y) são aqueles que atendem às seguintes equações:

{ fx = 0 -> { df/dx = 0

{ fy = 0 -> { df/dy = 0

Com f(x, y) = x² + 3xy + 4y² - 6x + 2y:

{ d(x² + 3xy + 4y² - 6x + 2y)/dx = 0 -> { 2x + 3y - 6 = 0 -> { x = 3 - 3y/2 (I)

{ d(x² + 3xy + 4y² - 6x + 2y)/dy = 0 -> { 3x + 8y + 2 = 0 (II)

Substituindo (I) em (II), o valor de y é:

-> 3x + 8y + 2 = 0

-> 3⋅(3 - 3y/2) + 8y + 2 = 0

-> 9 - 9y/2 + 8y + 2 = 0

-> 18 - 9y + 16y + 4 = 0

-> 22 + 7y = 0

-> y = - 22/7

Portanto, o valor de x é:

-> x = 3 - 3y/2

-> x = 3 - 3⋅(- 22/7)/2

-> x = 3 + 3⋅(11/7)

-> x = 21/7 + 33/7

-> x = 54/7

Portanto, o único ponto crítico de f(x, y) = x² + 3xy + 4y² - 6x + 2y é:

-> (x₀, y₀) = (54/7, - 22/7)

Agora, deve-se classificar o ponto crítico encontrado.

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Conhecendo as derivadas fx = 2x + 3y - 6 e fy = 3x + 8y + 2, a matriz Hessiana é:

-> H(x, y) = [ fxx fxy ]

[ fyx fyy ]

-> H(x, y) = [ d(fx)/dx d(fx)/dy ]

[ d(fy)/dx d(fy)/dy ]

-> H(x, y) = [ d(2x + 3y - 6)/dx d(2x + 3y - 6)/dy ]

[ d(3x + 8y + 2)/dx d(3x + 8y + 2)/dy ]

-> H(x, y) = [ 2 3 ]

[ 3 8 ]

Portanto, o determinante de H(x, y) é:

-> | H(x, y) | = 2⋅8 - 3⋅3

-> | H(x, y) | = 16 - 9

-> | H(x, y) | = 7

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Classificação de um ponto crítico:

. | H(x, y) | > 0 e fxx(x, y) > 0: ponto de mínimo local.

. | H(x, y) | > 0 e fxx(x, y) < 0: ponto de máximo local.

. | H(x, y) | < 0: ponto de sela.

. | H(x, y) | = 0: não se pode concluir nada.

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Com | H(54/7, - 22/7) | = 7 > 0, tem-se que (x₀, y₀) = (54/7, - 22/7) ou é um ponto de máximo local ou de mínimo local.

Com fxx = 2 > 0, tem-se que o ponto crítico (x₀, y₀) = (54/7, - 22/7) é um ponto de mínimo local de f(x, y) = x² + 3xy + 4y² - 6x + 2y.

Além disso, tem-se que f(x, y) = x² + 3xy + 4y² - 6x + 2y não possui ponto de máximo local.

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