Quais são as raizes sextas de -8??

Não existem raizes reais pares de números negativos.

Vamos estudar raízes complexas de equações nesse exercício.

Para começar, vamos usar a Fórmula de Euler para reescrever o número $-8$:

$$x^6=-8=8(-1)=8(-1+i0)=8[\cos(\pi+2k\pi)+i\sin(\pi+2k\pi)]=8e^{i(\pi+2k\pi)}$$

Tirando a raiz dos dois lados da equação, temos:

$$x=\sqrt2e^{i(2k+1){\pi\over6}}$$

Variando $k$ partindo de 0, temos:

$$x\in\{\sqrt2e^{i{\pi\over6}},\sqrt2e^{i{\pi\over2}},\sqrt2e^{i{5\pi\over6}},\sqrt2e^{i{7\pi\over6}},\sqrt2e^{i{3\pi\over2}},\sqrt2e^{i{11\pi\over6}}\}$$

Voltando para a forma trigonométrica pela Fórmula de Euler, temos:

$$\boxed{x\in\left\{\sqrt2\left({\sqrt3\over2}+i{1\over2}\right),i\sqrt2,\sqrt2\left(-{\sqrt3\over2}+i{1\over2}\right),\sqrt2\left(-{\sqrt3\over2}-i{1\over2}\right),-i\sqrt2,\sqrt2\left({\sqrt3\over2}-i{1\over2}\right)\right\}}$$

Vamos estudar raízes complexas de equações nesse exercício.

Para começar, vamos usar a Fórmula de Euler para reescrever o número $-8$:

$$x^6=-8=8(-1)=8(-1+i0)=8[\cos(\pi+2k\pi)+i\sin(\pi+2k\pi)]=8e^{i(\pi+2k\pi)}$$

Tirando a raiz dos dois lados da equação, temos:

$$x=\sqrt2e^{i(2k+1){\pi\over6}}$$

Variando $k$ partindo de 0, temos:

$$x\in\{\sqrt2e^{i{\pi\over6}},\sqrt2e^{i{\pi\over2}},\sqrt2e^{i{5\pi\over6}},\sqrt2e^{i{7\pi\over6}},\sqrt2e^{i{3\pi\over2}},\sqrt2e^{i{11\pi\over6}}\}$$

Voltando para a forma trigonométrica pela Fórmula de Euler, temos:

$$\boxed{x\in\left\{\sqrt2\left({\sqrt3\over2}+i{1\over2}\right),i\sqrt2,\sqrt2\left(-{\sqrt3\over2}+i{1\over2}\right),\sqrt2\left(-{\sqrt3\over2}-i{1\over2}\right),-i\sqrt2,\sqrt2\left({\sqrt3\over2}-i{1\over2}\right)\right\}}$$