operador linear

SIM

Para a resolução desse exercício são utilizados conceitos de álgebra linear tais como transformações lineares e sua relação com matrizes, matrizes nilpotentes, independência linear e o Teorema de Cayley Hamilton.

Seja n a dimensão do espaço vetorial V, de tal forma que como a transformação linear T é nilpotente de ordem k, isto é ${T^k} = 0$, tem-se que k < n. Além disso, podendo um operador linear representado por uma matriz, no caso A, T(u) = Au e a composição de transformações lineares descrita por uma multiplicação de matrizes, ${T^k}(u) = {A^k}u$, observa-se que:

Pelo teorema de Cayley Hamilton, seja p o polinômio característico da matriz A, tem-se que p(A) = 0, ou seja:

$$P(A)={A^n} + {c_{n - 1}}{A^{n - 1}} +  \ldots  + {c_1}A + {c_0}I = 0$$

Onde os coeficientes ${c_i}, i = 0, 1, ..., n$, são função dos autovalores das potências da própria matriz. 

Dada a condição de nilpotente de ordem k<n da matriz A, pode-se reduzir a expressão de p(A) da seguinte maneira:

$$p(A) = {c_{k - 1}}{A^{k - 1}} +  \ldots  + {c_1}A + {c_0}I = 0$$

Finalmente, realizando a multiplicação a direita de todos os elementos pelo vetor $u \in V$, tem-se:

$${c_{k - 1}}{A^{k - 1}}u +  \ldots  + {c_1}Au + {c_0}u = 0$$

Assim, para que o conjunto $\left\{ {u;T(u); \ldots ;{T^{k - 1}}(u)} \right\}$ seja linearmente independente, basta mostrar que os  únicos coeficientes ${c_i}, i = 0, 1, ..., k-1$ que satisfazem a relação são todos nulos.

Para tanto volta-se ao fato de que os coeficientes são função dos autovalores das potências da matriz A, contudo, sabendo-se que A é nilpotente, tem-se que o único autovalor de qualquer de suas potências é o autovalor nulo, de tal forma que todos os coeficientes são tais que ${c_i} = 0$.

E dessa forma, o conjunto é linearmente independente.

Para a resolução desse exercício são utilizados conceitos de álgebra linear tais como transformações lineares e sua relação com matrizes, matrizes nilpotentes, independência linear e o Teorema de Cayley Hamilton.

Seja n a dimensão do espaço vetorial V, de tal forma que como a transformação linear T é nilpotente de ordem k, isto é ${T^k} = 0$, tem-se que k < n. Além disso, podendo um operador linear representado por uma matriz, no caso A, T(u) = Au e a composição de transformações lineares descrita por uma multiplicação de matrizes, ${T^k}(u) = {A^k}u$, observa-se que:

Pelo teorema de Cayley Hamilton, seja p o polinômio característico da matriz A, tem-se que p(A) = 0, ou seja:

$$P(A)={A^n} + {c_{n - 1}}{A^{n - 1}} + \ldots + {c_1}A + {c_0}I = 0$$

Onde os coeficientes ${c_i}, i = 0, 1, ..., n$, são função dos autovalores das potências da própria matriz.

Dada a condição de nilpotente de ordem k<n da matriz A, pode-se reduzir a expressão de p(A) da seguinte maneira:

$$p(A) = {c_{k - 1}}{A^{k - 1}} + \ldots + {c_1}A + {c_0}I = 0$$

Finalmente, realizando a multiplicação a direita de todos os elementos pelo vetor $u \in V$, tem-se:

$${c_{k - 1}}{A^{k - 1}}u + \ldots + {c_1}Au + {c_0}u = 0$$

Assim, para que o conjunto $\left\{ {u;T(u); \ldots ;{T^{k - 1}}(u)} \right\}$ seja linearmente independente, basta mostrar que os únicos coeficientes ${c_i}, i = 0, 1, ..., k-1$ que satisfazem a relação são todos nulos.

Para tanto volta-se ao fato de que os coeficientes são função dos autovalores das potências da matriz A, contudo, sabendo-se que A é nilpotente, tem-se que o único autovalor de qualquer de suas potências é o autovalor nulo, de tal forma que todos os coeficientes são tais que ${c_i} = 0$.

E dessa forma, o conjunto é linearmente independente.