Determinar m e IR a fim de que sejam ortogonais os vetores u= (1, m+1, m) e v= (m-1, m, m=1) do IR³. (Um produto interno usual).
💡 1 Resposta
Andre Smaira
O produto escalar interno é a operação vetorial que retorna, como o nome indica, um valor número escalar atrelado a relação entre dois vetores. A operação é demonstrada pelo símbolo $\cdot$ e definida por:
$$\mbox{Sendo}\quadv_1=(x_1,y_1,z_1)\\\quad\quad\mbox{e}\quadv_2=(x_2,y_2,z_2)\\\mbox{Temosaoperaçãodadapor:}\\v_1\cdotv_2\\=(x_1,y_1,z_1)\cdot(x_2,y_2,z_2)\\=x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$$
Por definição, quando dois vetores são ortogonais, o ângulo entre eles é de 90 graus. O produto escalar nos retorna o valor do cosseno do ângulo entre os vetores, assim, para vetores ortonais o produto escalar interno deve dar 0.
Aplicando a definição sobre os vetores u= (1, m+1, m) e v= (m-1, m, m-1) temos
$$u\cdotv=(1,m+1,m)\cdot(m-1,m,m-1)\\(1,m+1,m)\cdot(m-1,m,m-1)=0\\1\cdot(m-1)+m+1\cdot(m)+m\cdot(m-1)=0\\m-1+m^2+m+m^2-m=0\\2m^2+m-1=0$$
E então chegamos em uma equação do segundo grau. Sabendo da igualdade, devemos encontrar as raízes da equação para definir o valor de m.
Por soma e produto, encontramos $m = -1$ ou $m = \frac{1}{2}$. Podemos calcular as raízes a partir de Báskara, obtendo:
$$\frac{-b\mp\sqrt{b^2-4ac}}{2a}=\frac{-1\mp\sqrt{1-4\cdot2\cdot(-1)}}{4}\\=\frac{-1\mp\sqrt{9}}{4}\\=\frac{-1\mp3}{4}\\m=\frac{1}{2}\quad\mbox{ou}\quadm=-1$$
A partir do conhecimento de que quando temos dois vetores ortogonais o produto escalar interno vale 0, encontramos os valores $\boxed{m = -1\mbox{ ou } m = \frac{1}{2}}$.
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