Determine uma equacao da reta r q passa pelo ponto p=(1,1,-2) e q seja perpendicular a reta s:x+1=y_1=z?

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\[x+1 = y-1\]

\[y-1 =zChamando \$z = t\$, temos:\]

Vamos parametriza-la. Chamando \(z = t\), temos:

\[\eqalign{&z = t \\& y-1 = t \rightarrow y = t+1 \\& x+1 = y-1 \rightarrow x = (t+1)-1-1 \rightarrow x = t-1}\]

Portanto, o vetor paramétrico de \(s\) é \((t-1, t+1, t)\).

Como a reta \(r\) é perpendicular a \(s\), o produto escalar de seus vetores paramétricos será nulo:

\[\hat{v_s} \cdot \hat{v_r} = 0\]

\[(t-1, t+1, t) \cdot (a,b,c) = 0\]

\[a(t-1)+b(t+2)+ct = 0\]

\[t(a+b+c)+(-a+2b)= 0\]

O parâmetro \(t\) varia ao longo dos reais. Para que a relação sempre seja verdadeira, temos que os coeficientes formados por \(a\), \(b\) e \(c\) tem de ser sempre nulos. Logo, o seguinte sistema tem de ser obedecido:

\[\begin{cases}a+b+c=0\\-a+2b=0\end{cases}\]

Tomando \(b\) como o parâmetro \(t\), temos:

\[\eqalign{&b = t \\& a = 2b = 2t \\& c = -a -b = -3t}\]

Portanto, o vetor paramétrico da reta \(r\) será \((2t, t, -3t)\). Sabemos que ela passa pelo ponto \((1,1, -2)\). Logo, sua equação será dada por:

\[r: (1,1,-2) + t(2,1,-3)\]