Como faz o determinante de uma matriz mesmo?

com as mãos

Depende da escala da matriz:

2x2, multiplica a diagonal principal menos a multiplicação da diagonal secundária.
3x3, anota a matriz normalmente e adiciona as 2 primeiras colunas e multiplica as diagonas de cima pra baixo (diagonal principal) que contem 3 números, menos a mesma coisa só que de baixo pra cima (diagonal secundaria).

M = |1 2 3| =  1 2 3 1 2 ---> Seguindo a diagonal principal de cima pra baixo: (1*2*3 + 2*1*2 + 3*3*1)
       |3 2 1|     3 2 1 3 2        Seguindo a diagonal secundaria de baixo pra cima: (2*2*3 + 1*1*1 + 3*3*2)
       |2 1 3|     2 1 3 2 1        Subtrai as duas: (19)-(31)

                                           D = -12

\[det\begin{bmatrix}a & b \\c & d \end{bmatrix} = (a\cdot d) - (b \cdot c)\]

Já para matrizes de ordem 3 (três linhas e três colunas), copiamos à direita da matriz suas duas primeiras colunas e fazemos a soma dos produtos das diagonais principais e subtraímos dela soma dos produtos das diagonais secundárias:

\[det\begin{bmatrix}a & b &c \\d & e & f \\ g & h &i\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a & b &c \\d & e & f \\ g & h &i\end{bmatrix} \begin{bmatrix}a & b \\d & e \\ g & h \end{bmatrix} \\ = [(a \cdot e \cdot i)+(b\cdot f\cdot g)+(c \cdot d \cdot h)]-[(c \cdot e \cdot g)+(a \cdot f \cdot h)+(b \cdot d \cdot i)]\]

Para determinantes de matrizes de ordem superior, utiliza-se o Teorema de Laplace ou, quando aplicável, a Regra de Chió.