qual valor de m, os pontos A(3, m, 1), B(1,1, -1) e C(-2, 10, -4) serão da mesma reta?

1) Encontrar vetor formado pelos pontos B e C:

V = B - C

V = ( 1, 1, -1 ) - ( - 2 , 10 , - 4 )

V = [ 1 - ( - 2 ) ; 1 - 10 ; - 1 - ( - 4 ) ]

V = ( 1 + 2 ; 1 - 10 ; - 1 + 4 )

V = ( 3 , - 9 , 3 )

2) Aplicar a equação da reta, onde B( 1 , 1 , - 1 ) = ( x1 , x2, x3 ) ou C( - 2 , 10 , - 4 ) = ( x1 , x2, x3 ), V( 3 , - 9 , 3 ) = ( a , b , c ) e A( 3 , m , 1 ) = ( x , y , z )

2.1.) Para B( 1 , 1 , - 1 ) = ( x1 , x2, x3 ); V( 3 , - 9 , 3 ) = ( a , b , c ) e A( 3 , m , 1 ) = ( x , y , z )

x = x1 + t * a 

y = y1 + t * b

z = z1 + t * c

3 = 1 + t * 3

m = 1 + t * ( - 9 )

1 = -1 + t * 3

2.2.) Isolar t na primeira ou na terceira equação.

3 = 1 + t * 3

t = ( 3 - 1 ) / 3

t = 2 / 3

2.3.) Retornar com o valor de t na segunda equação.

m = 1 + t * ( - 9 )

m = 1 + ( 2 / 3 ) * ( - 9 )

m = 1 + ( - 6 )

m = 1 - 6

m = 5       (RESPOSTA)

\[\left\{ \begin{matrix} \eqalign{ \overrightarrow{AB}&=B-A =(1,1,-1)-(3,m,1)\\ \overrightarrow{BC} &=C-B =(-2,10,-4)-(1,1,-1)} \end{matrix} \right.\]

\[\left\{ \begin{matrix} \eqalign{ \overrightarrow{AB}&=B-A =(-2,1-m,-2)\\ \overrightarrow{BC} &=C-B =(-3,9,-3)} \end{matrix} \right.\]

Substituindo no produto
\(\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC}\)
tem-se o seguinte:

\[\overrightarrow{AB}\cdot \overrightarrow{BC} = \det\begin{bmatrix} \bf{i} & \bf{j} & \bf{k} \\ -2 & 1-m & -2 \\ -3 & 9 & -3 \end{bmatrix}\]

Com isso, o valor de
\(m\)
é:

\[\eqalign{ 0 &= \det\begin{bmatrix} \bf{i} & \bf{j} & \bf{k} \\ -2 & 1-m & -2 \\ -3 & 9 & -3 \end{bmatrix} \\ 0&=(-3(1-m)-(-2\cdot 9) ) bf{i}+ (-2\cdot(-3)-\big(-2\cdot (-3)\big) ) bf{j} + (-2\cdot9-\big(-3(1-m)\big) ) bf{k} \\ 0&=(-3+3m+18 ) bf{i}+ (6-6)\cdot bf{j} + (-18+3-3m ) bf{k} \\ 0&=(15+3m ) bf{i}+ (0)\cdot bf{j} + (-15-3m ) bf{k} \\ }\]

\[\left\{ \begin{matrix} \eqalign{ 15+3m &= 0 \cr -15-3m &= 0} \end{matrix} \right. \to \left\{ \begin{matrix} m = -5 \\ m = -5 \end{matrix} \right.\]

Concluindo, o valor de
\(m\)
é igual a
\(\boxed{m=-5}\)