Valor inicial - solução é dada

Equação diferencial:

-> y' + 2y = exp(-4t)

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1) Solução homogênea (y1):

-> y1' + 2y1 = 0

-> dy1/dt = - 2y1

-> dy1/y1 = - 2 dt

-> ∫ dy1/y1 = - 2 ∫ dt

-> ln(y1) = - 2t + c

-> y1 = exp(- 2t)*exp(c)

Portanto, com K = exp(c), a solução homogênea é:

-> y1 = K*exp(- 2t) (I)

Onde K é uma constante qualquer.

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2) Solução particular (y2): y2 = A*exp(-4t)

Substituindo y2 na equação diferencial, o valor de A é:

-> y2' + 2y2 = exp(-4t)

-> ( A*exp(-4t) )' + 2( A*exp(-4t) ) = exp(-4t)

-> - 4A*exp(-4t) + 2A*exp(-4t) = exp(-4t)

-> - 4A + 2A = 1

-> - 2A = 1

-> A = - 1/2

Portanto, a solução particular é:

-> y2 = A*exp(-4t)

-> y2 = - exp(-4t)/2 (II)

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3) Solução completa (y):

Com base nas equações (I) e (II):

-> y = y1 + y2

-> y = K*exp(- 2t) - exp(-4t)/2

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4) Valor de K:

Pela condição inicial, tem-se y(0) = 3/2. Substituindo t = 0 e y = 3/2, o valor de K é:

-> y = K*exp(- 2t) - exp(-4t)/2

-> 3/2 = K*exp(- 2*0) - exp(-4*0)/2

-> 3/2 = K*exp(0) - exp(0)/2

-> 3/2 = K - 1/2

-> 3/2 + 1/2 = K

-> K = 2

Portanto, a solução completa fica da seguinte forma:

-> y = - exp(-4t)/2 + K*exp(- 2t)

-> y = - exp(-4t)/2 + 2exp(- 2t)

Solução: letra c).

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sei nao