Um sólido E está contido no cilindro x2+y2=1 abaixo do plano z=4 e acima do paraboloide z=1 -x2-y2. Calcule o volume desse cilindro. ??

Limites de z: de z = 1 - x^2 - y^2 até z = 4

-> 1 - x^2 - y^2 ≤ z ≤ 4

Integral volumétrica de E:

-> V = ∫∫∫ dV

-> V = ∫∫∫ dz dA

-> V = ∫∫ (z) dA

-> V = ∫∫ ( 4 - (1 - x^2 - y^2) ) dA

-> V = ∫∫ ( 3 + x^2 + y^2 ) dA

A área dA = dy dx está dentro do círculo limitado pelo cilindro x^2 + y^2 = 1^2. Aplicando coordenadas cilíndricas, tem-se 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2π, x^2 + y^2 = r^2 e dA = r dr dθ. Com isso, a equação de V fica da seguinte forma:

-> V = ∫∫ ( 3 + x^2 + y^2 ) dA

-> V = ∫∫ ( 3 + r^2 ) r dr dθ

Criando uma nova variável u = 3 + r^2, tem-se du = 2r dr. Portanto, o valor de V é:

-> V = ∫∫ ( 3 + r^2 ) r dr dθ

-> V = 1/2 ∫∫ ( 3 + r^2 ) 2r dr dθ

-> V = 1/2 ∫∫ [ u ] du dθ

-> V = 1/2 ∫ [ u^2/2 ] dθ

-> V = 1/2 ∫ [ (3 + r^2)^2/2 ] dθ

-> V = 1/2 ∫ [ (3 + 1^2)^2/2 - (3 + 0^2)^2/2 ] dθ

-> V = 1/2 ∫ [ 16/2 - 9/2 ] dθ

-> V = 1/2 ∫ [ 7/2 ] dθ

-> V = 7/4 ∫ dθ

-> V = 7/4 (θ)

-> V = 7/4 (2π - 0)

-> V = 7/4 (2π)

-> V = 7π/2

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