Sabendo que o plano π passa pelo ponto B=(3,1,5) contém a reta r1, estabeleça a equação do plano π : x = 2 + t y = -3 - 2t z = t

Reta r1:

{ x = 2 + t

{ y = - 3 - 2t

{ z = 0 + t

A reta r1, que possui vetor diretor u = (1, -2, 1) e passa pelo ponto A(2, -3, 0), precisa estar contida no plano π.

O vetor que liga os pontos A(2, -3, 0) e B(3, 1, 5) é:

-> v = B - A

-> v = (3, 1, 5) - (2, -3, 0)

-> v = (3 - 2, 1 + 3, 5 - 0)

-> v = (1, 4, 5)

Os vetores u = (1, -2, 1) e v = (1, 4, 5) precisam pertencer ao plano π. Portanto, eles são paralelos ao plano. Portanto, o vetor normal (n) ao plano é:

-> n = u x v

-> n = (1, -2, 1) x (1, 4, 5)

| i j k |

-> n = | 1 -2 1 |

| 1 4 5 |

-> n = ( -2*5 - 1*4)i + (1*1 - 1*5)j + (1*4 - (-2)*1)k

-> n = ( -10 - 4)i + (1 - 5)j + (4 + 2)k

-> n = ( -14)i + (- 4)j + (6)k

-> n = (-14, -4, 6)

Portanto, a equação do plano π fica da seguinte forma:

-> -14x - 4y + 6z = K

Agora, deve-se substituir um ponto na equação do plano para achar o valor de K. Substituindo o ponto B(3, 1, 5), por exemplo, o valor de K é:

-> K = - 14x - 4y + 6z

-> K = - 14*3 - 4*1 + 6*5

-> K = - 42 - 4 + 30

-> K = - 16

Portanto, a equação completa do plano π é:

-> - 14x - 4y + 6z = K

-> - 14x - 4y + 6z = - 16

-> - 7x - 2y + 3z = - 8

-> 7x + 2y - 3z = 8

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