duvida em integral

Função r(t) da taxa de crescimento de venda de automóveis (em milhões de compradores/ano):

-> r(t) = - 0,375·t² + 2,1·t + 2,45

Sendo c(t) a função de número de compradores (em milhões), tem-se que a derivada de c(t) é r(t). Ou seja:

-> ∂c(t)/∂t = r(t)

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Integrando r(t), a função c(t) é:

-> c(t) = ∫ r(t) ∂t

-> c(t) = ∫ ( - 0,375·t² + 2,1·t + 2,45 ) ∂t

-> c(t) = - 0,375·t³/3 + 2,1·t²/2 + 2,45·t + k

-> c(t) = - 0,125·t³ + 1,05·t² + 2,45·t + k

Onde k é uma constante qualquer.

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Pelo trecho "O número de compradores de automóveis em 2003 era de 1,5 milhão", tem-se a condição inicial c(t = 0) = 1,5. Portanto, substituindo na função c(t), o valor da constante k é:

-> c(t) = - 0,125·t³ + 1,05·t² + 2,45·t + k

-> c(0) = - 0,125·0³ + 1,05·0² + 2,45·0 + k

-> 1,5 = k

-> k = 1,5

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a)

Portanto, a função de número de compradores de automóveis por ano é:

-> c(t) = - 0,125·t³ + 1,05·t² + 2,45·t + 1,5

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b)

O ano 2008 é representado por t = 5. Portanto, o valor de c(5) é:

-> c(t) = - 0,125·t³ + 1,05·t² + 2,45·t + 1,5

-> c(5) = - 0,125·5³ + 1,05·5² + 2,45·5 + 1,5

-> c(5) = 24,375 milhões de compradores.

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