bcj0205_aula2

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BCJ0205 - Fenômenos Térmicos 
Centro de Ciências Naturais e Humanas 
Universidade Federal do ABC 
Aula 2 
Dinâmica dos Fluidos: 
Equação de Continuidade; Princípio de Bernoulli 
Profa. Dra. Romarly Fernandes da Costa 
(romarly.costa@ufabc.edu.br) 
Sala 290 – Bloco Delta, Campus São Bernardo 
 
02/06/2021 
Apresentação da disciplina Na aula passada... 
Estática dos fluidos 
(Conceitos fundamentais) 
 Para uma força de módulo F atuando sobre uma 
superfície de área A, a pressão é definida como: 
F
P
A
Apresentação da disciplina 
Estática dos fluidos 
(Conceitos fundamentais) 
 Para uma força de módulo F atuando sobre uma 
superfície de área A, a pressão é definida como: 
F
P
A
 A variação da pressão com a profundidade é dada 
pela lei de Stevin: 
0
P P ρgh
Na aula passada... 
Apresentação da disciplina Na aula passada... 
Estática dos fluidos 
(Conceitos fundamentais) 
 Para uma força de módulo F atuando sobre uma 
superfície de área A, a pressão é definida como: 
F
P
A
 A variação da pressão com a profundidade é dada 
pela lei de Stevin: 
0
P P ρgh
Princípio de Pascal: Uma variação de pressão 
aplicada a um fluido confinado em um recipiente 
é transmitida, sem redução, a todos os pontos do 
fluido e às paredes do recipiente. 
Todo corpo completa ou parcialmente mergulhado 
em um fluido experimenta uma força de flutuação 
(empuxo) de baixo para cima, cujo valor é igual ao 
peso do fluido deslocado pelo corpo. 
Apresentação da disciplina Na aula passada... 
Estática dos fluidos 
(Conceitos fundamentais) 
 Princípio de Arquimedes: 
Apresentação da disciplina Na aula passada... 
Estática dos fluidos 
(Conceitos fundamentais) 
 Princípio de Arquimedes: 
B Mg
Todo corpo completa ou parcialmente mergulhado 
em um fluido experimenta uma força de flutuação 
(empuxo) de baixo para cima, cujo valor é igual ao 
peso do fluido deslocado pelo corpo. 
Apresentação da disciplina 
O empuxo e o princípio de Arquimedes 
(Caso I: Um corpo totalmente submerso) 
Na aula passada... 
res,y f c c
F (ρ ρ )gV
 No caso em que um objeto de densidade ρc e 
volume Vc encontra-se totalmente submerso em um 
fluido de densidade ρf, temos que: 
Apresentação da disciplina 
O empuxo e o princípio de Arquimedes 
(Caso I: Um corpo totalmente submerso) 
Na aula passada... 
res,y f c c
F (ρ ρ )gV
 No caso em que um objeto de densidade ρc e 
volume Vc encontra-se totalmente submerso em um 
fluido de densidade ρf, temos que: 
 Sendo assim, se a densidade do corpo for menor do 
que a do fluido, ele irá flutuar [Fig. (a) abaixo]. 
Apresentação da disciplina 
O empuxo e o princípio de Arquimedes 
(Caso I: Um corpo totalmente submerso) 
Na aula passada... 
res,y f c c
F (ρ ρ )gV
 No caso em que um objeto de densidade ρc e 
volume Vc encontra-se totalmente submerso em um 
fluido de densidade ρf, temos que: 
 Sendo assim, se a densidade do corpo for menor do 
que a do fluido, ele irá flutuar [Fig. (a) abaixo]. Caso 
contrário, ele irá afundar [Fig. (b)]; 
Apresentação da disciplina 
O empuxo e o princípio de Arquimedes 
(Caso II: Um corpo flutuando) 
 Considere agora um corpo de volume Vc e 
de densidade ρc que se encontra em 
equilíbrio estático e que flutua na superfície 
de um fluido, como mostra a figura ao lado; 
Na aula passada... 
 Neste caso, temos que: 
 
 
 
 
 
onde V é o volume da parte submersa do corpo; 
 Considere agora um corpo de volume Vc e 
de densidade ρc que se encontra em 
equilíbrio estático e que flutua na superfície 
de um fluido, como mostra a figura ao lado; 
Apresentação da disciplina 
O empuxo e o princípio de Arquimedes 
(Caso II: Um corpo flutuando) 
c
c
f
ρ
V V
ρ
Na aula passada... 
 Neste caso, temos que: 
 
 
 
 
 
onde V é o volume da parte submersa do corpo; 
 Considere agora um corpo de volume Vc e 
de densidade ρc que se encontra em 
equilíbrio estático e que flutua na superfície 
de um fluido, como mostra a figura ao lado; 
Apresentação da disciplina 
O empuxo e o princípio de Arquimedes 
(Caso II: Um corpo flutuando) 
c
c
f
ρ
V V
ρ
 Como V ≤ Vc, temos que a densidade do corpo deve 
ser menor ou igual à densidade do fluido, conforme 
esperado! 
Na aula passada... 
O que vamos ver hoje ? 
 Dinânica dos fluidos; 
 Regime de escoamento de um fluido; 
 
 Linhas de corrente e a equação de 
continuidade para fluidos; 
 Princípio de Bernoulli; 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Consideramos até o momento a descrição de fluidos 
em repouso, ou seja, a estática dos fluidos. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Consideramos até o momento a descrição de fluídos 
em repouso, ou seja, a estática dos fluidos. Nesta parte 
do curso, voltaremos a atenção para a dinâmica dos 
fluidos, isto é, o estudo dos fluidos em movimento; 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Consideramos até o momento a descrição de fluídos 
em repouso, ou seja, a estática dos fluidos. Nesta parte 
do curso, voltaremos a atenção para a dinâmica dos 
fluidos, isto é, o estudo dos fluidos em movimento; 
 Em geral, o movimento de um fluido pode ser muito 
complicado e, por isso, ao invés de estudar o 
movimento de cada uma das partículas que compõem 
o mesmo, vamos descrever as propriedades do fluido 
como um todo; 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Consideramos até o momento a descrição de fluídos 
em repouso, ou seja, a estática dos fluidos. Nesta parte 
do curso, voltaremos a atenção para a dinâmica dos 
fluidos, isto é, o estudo dos fluidos em movimento; 
 Em geral, o movimento de um fluido pode ser muito 
complicado e, por isso, ao invés de estudar o 
movimento de cada uma das partículas que compõem 
o mesmo, vamos descrever as propriedades do fluido 
como um todo; 
 Nesta abordagem, as características do movimento 
são definidas em termos do fluxo ou escoamento do 
fluido. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Em mecânica dos fluidos, o regime de escoamento 
diz respeito a como os fluidos se comportam em 
relação a diversas variáveis; 
 O fluxo de um fluido pode ser classificado em termos 
da direção da trajetória das partículas que o compõem 
da seguinte maneira: 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Em mecânica dos fluidos, o regime de escoamento 
diz respeito a como os fluidos se comportam em 
relação a diversas variáveis; 
 O fluxo de um fluido pode ser classificado em termos 
da direção da trajetória das partículas que o compõem 
da seguinte maneira: 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Em mecânica dos fluidos, o regime de escoamento 
diz respeito a como os fluidos se comportam em 
relação a diversas variáveis; 
(i) Escoamento laminar 
(também chamado de lamelar 
ou tranquilo): situação na qual 
as partículas do fluido tendem 
a percorrer trajetórias suaves e 
paralelas; 
(ii) Escoamento turbulento: 
situação na qual as trajetórias 
das partículas são curvilíneas, 
não paralelas, alteram-se em 
sentido, sendo irregulares. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
(ii) Escoamento turbulento: 
situação na qual as trajetórias 
das partículas são curvilíneas, 
não paralelas, alteram-se em 
sentido, sendo irregulares. 
Apresentam entrecruzamento, 
formando uma série de 
minúsculos redemoinhos ou 
vórtex; 
Apresentação da disciplina Dinâmicados Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
(ii) Escoamento turbulento: 
situação na qual as trajetórias 
das partículas são curvilíneas, 
não paralelas, alteram-se em 
sentido, sendo irregulares. 
Apresentam entrecruzamento, 
formando uma série de 
minúsculos redemoinhos ou 
vórtex; 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Na prática, o escoamento dos fluidos quase sem 
exceção é turbulento. 
(ii) Escoamento turbulento: 
situação na qual as trajetórias 
das partículas são curvilíneas, 
não paralelas, alteram-se em 
sentido, sendo irregulares. 
Apresentam entrecruzamento, 
formando uma série de 
minúsculos redemoinhos ou 
vórtex; 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 Na prática, o escoamento dos fluidos quase sem 
exceção é turbulento. É o regime típico das obras de 
engenharia, tais como adutoras, tubulações industriais, 
vertedores de barragens, fontes ornamentais, etc. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
sua variação no tempo em um dos seguintes regimes: 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
sua variação no tempo em um dos seguintes regimes: 
 
(i) Escoamento permanente, ou estacionário, no qual a 
velocidade e a pressão num determinado ponto, não 
variam com o tempo. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
sua variação no tempo em um dos seguintes regimes: 
 
(i) Escoamento permanente, ou estacionário, no qual a 
velocidade e a pressão num determinado ponto, não 
variam com o tempo. A velocidade e a pressão podem 
variar de um ponto para outro do fluxo, mas se mantêm 
constantes em cada ponto imóvel do espaço; 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
sua variação no tempo em um dos seguintes regimes: 
 
(i) Escoamento permanente, ou estacionário, no qual a 
velocidade e a pressão num determinado ponto, não 
variam com o tempo. A velocidade e a pressão podem 
variar de um ponto para outro do fluxo, mas se mantêm 
constantes em cada ponto imóvel do espaço; 
(ii) Escoamento não permanente, no qual a velocidade 
e a pressão, em determinado ponto, mudam com o 
tempo, variando também de um ponto a outro. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
sua variação no tempo em um dos seguintes regimes: 
 
(i) Escoamento permanente, ou estacionário, no qual a 
velocidade e a pressão num determinado ponto, não 
variam com o tempo. A velocidade e a pressão podem 
variar de um ponto para outro do fluxo, mas se mantêm 
constantes em cada ponto imóvel do espaço; 
(ii) Escoamento não permanente, no qual a velocidade 
e a pressão, em determinado ponto, mudam com o 
tempo, variando também de um ponto a outro. A 
pressão e a velocidade em um ponto dependem tanto 
das coordenadas como do tempo. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
variação da velocidade das partículas na trajetória: 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
variação da velocidade das partículas na trajetória: 
 
(i) Escoamento uniforme, no qual todos os pontos da 
mesma trajetória que seguem as partículas apresentam 
a mesma velocidade. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
variação da velocidade das partículas na trajetória: 
 
(i) Escoamento uniforme, no qual todos os pontos da 
mesma trajetória que seguem as partículas apresentam 
a mesma velocidade. Trata-se de um caso específico 
do escoamento permanente. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
variação da velocidade das partículas na trajetória: 
 
(i) Escoamento uniforme, no qual todos os pontos da 
mesma trajetória que seguem as partículas apresentam 
a mesma velocidade. Trata-se de um caso específico 
do escoamento permanente. Existe a variação da 
velocidade entre as trajetórias, mas na mesma 
trajetória, todos os pontos têm a mesma velocidade 
(em módulo, direção e sentido); 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode se comportar quanto à 
variação da velocidade das partículas na trajetória: 
 
(i) Escoamento uniforme, no qual todos os pontos da 
mesma trajetória que seguem as partículas apresentam 
a mesma velocidade. Trata-se de um caso específico 
do escoamento permanente. Existe a variação da 
velocidade entre as trajetórias, mas na mesma 
trajetória, todos os pontos têm a mesma velocidade 
(em módulo, direção e sentido); 
(ii) Escoamento variado, no qual os diversos pontos de 
uma mesma trajetória não apresentam constância da 
velocidade no intervalo de tempo considerado. 
 O fluxo de um fluido pode também se comportar 
quanto ao seus movimentos de rotação como: 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode também se comportar 
quanto ao seus movimentos de rotação como: 
 
(i) Escoamento rotacional, no qual cada partícula está 
sujeita a uma velocidade angular em relação ao seu 
centro de massa. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode também se comportar 
quanto ao seus movimentos de rotação como: 
 
(i) Escoamento rotacional, no qual cada partícula está 
sujeita a uma velocidade angular em relação ao seu 
centro de massa. Em virtude da viscosidade, o 
escoamento de fluidos reais sempre se comporta como 
um escoamento rotacional; 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode também se comportar 
quanto ao seus movimentos de rotação como: 
 
(i) Escoamento rotacional, no qual cada partícula está 
sujeita a uma velocidade angular em relação ao seu 
centro de massa. Em virtude da viscosidade, o 
escoamento de fluidos reais sempre se comporta como 
um escoamento rotacional; 
 
(ii) Escoamento irrotacional, aproximação em que se 
desconsidera o comportamento rotacional dos 
escoamentos. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
 O fluxo de um fluido pode também se comportar 
quanto ao seus movimentos de rotação como: 
 
(i) Escoamento rotacional, no qual cada partícula está 
sujeita a uma velocidade angular em relação ao seu 
centro de massa. Em virtude da viscosidade, o 
escoamento de fluidos reais sempre se comporta como 
um escoamento rotacional; 
 
(ii) Escoamento irrotacional, aproximação em que se 
desconsidera o comportamento rotacional dos 
escoamentos. Num escoamento irrotacional a 
influência da força de viscosidade é completamente 
desprezada. 
Apresentação da disciplina Dinâmica dos FluidosFluidos em movimento 
(Características do escoamento de fluidos) 
Apresentação da disciplina 
 Neste curso introdutório de dinâmica dos fluidos, 
utilizaremos um modelo de aproximação denominado 
como modelo de fluido ideal que se baseia na 
seguintes suposições a respeito de suas propriedades 
intrínsecas: 
Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Conceituação de um fluido ideal) 
Apresentação da disciplina 
 Neste curso introdutório de dinâmica dos fluidos, 
utilizaremos um modelo de aproximação denominado 
como modelo de fluido ideal que se baseia na 
seguintes suposições a respeito de suas propriedades 
intrínsecas: 
 
(1) Fluido não viscoso. Neste caso, o atrito interno é 
desprezado e, consequentemente, um corpo que se 
move através do fluido não sofre a ação de nenhuma 
força viscosa; 
Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Conceituação de um fluido ideal) 
Apresentação da disciplina 
 Neste curso introdutório de dinâmica dos fluidos, 
utilizaremos um modelo de aproximação denominado 
como modelo de fluido ideal que se baseia na 
seguintes suposições a respeito de suas propriedades 
intrínsecas: 
 
(1) Fluido não viscoso. Neste caso, o atrito interno é 
desprezado e, consequentemente, um corpo que se 
move através do fluido não sofre a ação de nenhuma 
força viscosa; 
 
(2) Fluido incompressível. A densidade do fluido 
permanece a mesma, independentemente da pressão 
aplicada; 
Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Conceituação de um fluido ideal) 
Apresentação da disciplina 
e, também, a respeito do seu regime de escoamento: 
Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Conceituação de um fluido ideal) 
(3) Escoamento laminar. A 
velocidade do fluido em cada 
ponto permanece constante. 
Apresentação da disciplina 
e, também, a respeito do seu regime de escoamento: 
Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Conceituação de um fluido ideal) 
(3) Escoamento laminar. A 
velocidade do fluido em cada 
ponto permanece constante. 
Neste caso é possível representar 
o fluxo através de um campo de 
velocidades, conforme ilustra a 
figura ao lado. 
Apresentação da disciplina 
e, também, a respeito do seu regime de escoamento: 
Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Conceituação de um fluido ideal) 
(3) Escoamento laminar. A 
velocidade do fluido em cada 
ponto permanece constante. 
Neste caso é possível representar 
o fluxo através de um campo de 
velocidades, conforme ilustra a 
figura ao lado. Num dado ponto 
P, a velocidade é sempre 
tangente às linhas de campo 
nesse ponto; 
Apresentação da disciplina 
e, também, a respeito do seu regime de escoamento: 
Dinâmica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Conceituação de um fluido ideal) 
(4) Escoamento irrotacional. Em qualquer ponto do 
fluido, o momento angular é igual à zero. 
(3) Escoamento laminar. A 
velocidade do fluido em cada 
ponto permanece constante. 
Neste caso é possível representar 
o fluxo através de um campo de 
velocidades, conforme ilustra a 
figura ao lado. Num dado ponto 
P, a velocidade é sempre 
tangente às linhas de campo 
nesse ponto; 
 Você provavelmente já observou que a velocidade 
da água que sai de uma mangueira de jardim 
aumenta ao fechar parcialmente a extremidade de 
saída da mangueira com o polegar: 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
 Você provavelmente já observou que a velocidade 
da água que sai de uma mangueira de jardim 
aumenta ao fechar parcialmente a extremidade de 
saída da mangueira com o polegar: 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
 É possível entender este fenômeno a partir da 
equação de continuidade para fluidos ideais que será 
deduzida a seguir. 
 Vamos considerar um 
segmento de tubo, cuja área 
de seção transversal pode 
variar, conforme mostra a 
figura ao lado. 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
 Vamos considerar um 
segmento de tubo, cuja área 
de seção transversal pode 
variar, conforme mostra a 
figura ao lado. Consideremos 
também que o tubo está 
preenchido com um fluido 
ideal; 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
 Vamos considerar um 
segmento de tubo, cuja área 
de seção transversal pode 
variar, conforme mostra a 
figura ao lado. Consideremos 
também que o tubo está 
preenchido com um fluido 
ideal; 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
 Suponha que num dado intervalo de tempo Δt, um 
volume A1x1 passa pela área da seção transversal A1 
do tubo, no ponto 1. 
 Vamos considerar um 
segmento de tubo, cuja área 
de seção transversal pode 
variar, conforme mostra a 
figura ao lado. Consideremos 
também que o tubo está 
preenchido com um fluido 
ideal; 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
 Suponha que num dado intervalo de tempo Δt, um 
volume A1x1 passa pela área da seção transversal A1 
do tubo, no ponto 1. Como o fluido é incompressível, 
um volume igual, dado por A2x2, deve sair do tubo 
através da área A2, no ponto 2. 
 Como por hipótese esses volumes devem ser iguais 
temos, então, que: 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
1 1 2 2
V A Δx A Δx
 Como por hipótese esses volumes devem ser iguais 
temos, então, que: 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
1 1 2 2
V A Δx A Δx
 Dividindo ambos os membros na expressão acima 
por Δt, resulta que: 
1 1 2 2
A Δx A Δx
Δt Δt
 Como por hipótese esses volumes devem ser iguais 
temos, então, que: 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
1 1 2 2
V A Δx A Δx
 Dividindo ambos os membros na expressão acima 
por Δt, resulta que: 
1 1 2 2
A Δx A Δx
Δt Δt
1 1 2 2
A v A v
 Como por hipótese esses volumes devem ser iguais 
temos, então, que: 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de continuidade) 
Mecânica dos Fluidos 
1 1 2 2
V A Δx A Δx
 Dividindo ambos os membros na expressão acima 
por Δt, resulta que: 
1 1 2 2
A Δx A Δx
Δt Δt
1 1 2 2
A v A v
 O resultado acima é conhecido como equação da 
continuidade e expressa o fato de que, no escoamento 
de um fluido incompressível, a vazão volumétrica é a 
mesma através de qualquer seção transversal ao fluxo. 
 Consideremos o deslocamento de um fluido ideal 
através de um tubo não uniforme, num dado intervalo 
de tempo Δt, conforme indicado na figura abaixo: 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
Mecânica dos Fluidos 
 Da mesma forma que 
anteriormente, a região no tubo 
entre os pontos 1 e 2 será 
selecionada mas, neste caso, 
vamos considerar que a Terra 
também faz parte do sistema; 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
Mecânica dos Fluidos 
 Da mesma forma que 
anteriormente, a região no tubo 
entre os pontos 1 e 2 será 
selecionada mas, neste caso, 
vamos considerar que a Terra 
também faz parte do sistema; 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
Mecânica dos Fluidos 
 Com isto, a energia cinética de uma certa 
quantidade de massa Δm no ponto 1, K1, muda para K2, 
no ponto 2; 
 Da mesma forma que 
anteriormente, a região no tubo 
entre os pontos 1 e 2 será 
selecionada mas, neste caso, 
vamos considerar que a Terra 
também faz parte do sistema; 
Apresentação da disciplina 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
Mecânica dos Fluidos 
 Com isto, a energia cinética de uma certaquantidade de massa Δm no ponto 1, K1, muda para K2, 
no ponto 2; 
 De acordo com o teorema do trabalho–energia 
cinética, temos que: 
2 1 total
ΔK K K W
 Na expressão anterior, o trabalho total é dado por: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
gtotal F P
W W W
 Na expressão anterior, o trabalho total é dado por: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
gtotal F P
W W W
gF g 2 1 2 1
W ΔU (Δmgy Δmgy ) Δmg(y y )
sendo o trabalho da força gravitacional, tal que: 
gF
W
 Na expressão anterior, o trabalho total é dado por: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
gtotal F P
W W W
gF g 2 1 2 1
W ΔU (Δmgy Δmgy ) Δmg(y y )
e o trabalho associado à pressão: PW
sendo o trabalho da força gravitacional, tal que: 
gF
W
P 1 1 2 2
W FΔx F Δx
 Na expressão anterior, o trabalho total é dado por: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
gtotal F P
W W W
gF g 2 1 2 1
W ΔU (Δmgy Δmgy ) Δmg(y y )
e o trabalho associado à pressão: PW
sendo o trabalho da força gravitacional, tal que: 
gF
W
P 1 1 1 2 2 2
W P A Δx P A Δx
P 1 1 2 2
W FΔx F Δx
 Na expressão anterior, o trabalho total é dado por: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
gtotal F P
W W W
gF g 2 1 2 1
W ΔU (Δmgy Δmgy ) Δmg(y y )
e o trabalho associado à pressão: PW
sendo o trabalho da força gravitacional, tal que: 
gF
W
 Vale notar que, no ponto 1 a pressão P1 realiza um 
trabalho positivo sobre o fluido (força no mesmo 
sentido de deslocamento do fluido), enquanto que no 
ponto 2, P2 realiza um trabalho negativo. 
P 1 1 1 2 2 2
W P A Δx P A Δx
P 1 1 2 2
W FΔx F Δx
 Com isto, resulta que: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
gtotal F P 2 1 1 2
W W W Δmg(y y ) (P P )ΔV
onde usamos o fato de que 
1 1 2 2
A Δx A Δx ΔV;
 Com isto, resulta que: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
gtotal F P 2 1 1 2
W W W Δmg(y y ) (P P )ΔV
2 2
2 1 2 1
1 1
ΔK K K Δmv Δmv
2 2
 A variação é igual à diferença entre as energias 
cinética nos pontos 2 e 1, ou seja: 
ΔK
onde usamos o fato de que 
1 1 2 2
A Δx A Δx ΔV;
 Com isto, resulta que: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
gtotal F P 2 1 1 2
W W W Δmg(y y ) (P P )ΔV
 Substituindo todos estes resultados na expressão 
para o teorema do trabalho-energia cinética temos, 
enfim, que: 
2 2
2 1 2 1
1 1
ΔK K K Δmv Δmv
2 2
 A variação é igual à diferença entre as energias 
cinética nos pontos 2 e 1, ou seja: 
ΔK
2 2
2 1 2 1 1 2
1 1
Δmv Δmv Δmg(y y ) (P P )ΔV
2 2
onde usamos o fato de que 
1 1 2 2
A Δx A Δx ΔV;
 Reagrupando os termos que dependem das 
variáveis no ponto 1 e os termos que dependem das 
variáveis no ponto 2 e, enfim, dividindo toda a 
expressão por ΔV, obtém-se: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
2 2
1 1 1 2 2 2
1 Δm Δm ΔV 1 Δm Δm ΔV
v gy P v gy P
2 ΔV ΔV ΔV 2 ΔV ΔV ΔV
 Reagrupando os termos que dependem das 
variáveis no ponto 1 e os termos que dependem das 
variáveis no ponto 2 e, enfim, dividindo toda a 
expressão por ΔV, obtém-se: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
 Lembrando que ρ = Δm/ΔV resulta, enfim: 
2 2
1 1 1 2 2 2
1 1
P ρgy ρv P ρgy ρv
2 2
expressão conhecida como equação de Bernoulli 
aplicada a um fluido ideal. 
2 2
1 1 1 2 2 2
1 Δm Δm ΔV 1 Δm Δm ΔV
v gy P v gy P
2 ΔV ΔV ΔV 2 ΔV ΔV ΔV
 A expressão pode, ainda, ser reescrita como: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
resultado este que indica que a combinação de 
grandezas no membro esquerdo é conservada; 
21P ρgy ρv cte
2
 A expressão pode, ainda, ser reescrita como: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
 Uma aplicação especial da equação de Bernoulli 
ocorre no caso de um fluido em repouso. 
resultado este que indica que a combinação de 
grandezas no membro esquerdo é conservada; 
21P ρgy ρv cte
2
 A expressão pode, ainda, ser reescrita como: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
 Uma aplicação especial da equação de Bernoulli 
ocorre no caso de um fluido em repouso. Neste caso, 
v1 = v2 = 0, tal que: 
resultado este que indica que a combinação de 
grandezas no membro esquerdo é conservada; 
21P ρgy ρv cte
2
1 1 2 2
P ρgy P ρgy
 A expressão pode, ainda, ser reescrita como: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(A equação de Bernoulli) 
 Uma aplicação especial da equação de Bernoulli 
ocorre no caso de um fluido em repouso. Neste caso, 
v1 = v2 = 0, tal que: 
resultado este que indica que a combinação de 
grandezas no membro esquerdo é conservada; 
21P ρgy ρv cte
2
1 1 2 2
P ρgy P ρgy
1 2 2 1
P P ρgy ρgy ρgh
que é justamente o resultado previsto pela lei de Stevin, 
com h = y2 –y1, como era de se esperar! 
 Considere um fluido ideal escoando através de um 
tubo horizontal que possui um estrangulamento (ou 
constrição) conforme ilustrado na figura abaixo: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
 Considere um fluido ideal escoando através de um 
tubo horizontal que possui um estrangulamento (ou 
constrição) conforme ilustrado na figura abaixo: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
 Como as duas seções do tubo horizontal, A1 e A2, 
estão à mesma altura temos que y1 = y2 e, neste caso, 
a equação de Bernoulli é tal que: 
2 2
1 1 2 2
1 1
P ρv P ρv
2 2
 Vamos determinar a 
velocidade no ponto 2, 
assumindo que a diferença de 
pressão entre os pontos 1 e 2 
(isto é, a diferença P1 − P2) seja 
conhecida; 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
 Vamos determinar a 
velocidade no ponto 2, 
assumindo que a diferença de 
pressão entre os pontos 1 e 2 
(isto é, a diferença P1 − P2) seja 
conhecida; 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
 Utilizando a equação de continuidade para um 
fluido ideal (a saber, A1v1 = A2v2) para eliminar a 
dependência da equação de Bernoulli em v1 temos, 
então, que: 
2
22
1 2 2 2
1
A1 1
P ρ v P ρv
2 A 2
 Vamos determinar a 
velocidade no ponto 2, 
assumindo que a diferença de 
pressão entre os pontos 1 e 2 
(isto é, a diferença P1 − P2) seja 
conhecida; 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
 Utilizando a equação de continuidade para um 
fluido ideal (a saber, A1v1 = A2v2) para eliminar a 
dependência da equação de Bernoulli em v1 temos, 
então, que: 
2
22
1 2 2 2
1
A1 1
P ρ v P ρv
2 A 2
2
22
1 2 2
1
A1
P P ρ 1 v
2 A
e, finalmente, resolvendo para v2: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
1 2
2 1 2 2
1 2
2(P P )
v A
ρ(A A )
e, finalmente, resolvendo para v2: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
1 2
2 1 2 2
1 2
2(P P )
v A
ρ(A A )
 Quando o fluido entra no estrangulamento, a área A 
se torna menor e, de acordo com a equação da 
continuidade, a velocidade do fluido neste ponto deveser maior. 
e, finalmente, resolvendo para v2: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
1 2
2 1 2 2
1 2
2(P P )
v A
ρ(A A )
 Quando o fluido entra no estrangulamento, a área A 
se torna menor e, de acordo com a equação da 
continuidade, a velocidade do fluido neste ponto deve 
ser maior. Além disso, de acordo com a equação de 
Bernoulli: 
21P ρv cte
2
e, para que isto ocorra, quando a velocidade aumenta 
a pressão deve diminuir. 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
Quando um fluido passa por um estrangulamento a 
sua velocidade aumenta e a sua pressão cai. 
 De fato, o nível mais alto do fluido vermelho na foto 
abaixo mostra exatamente esse resultado ao indicar 
que, na região constrita do tubo de Venturi, a pressão é 
menor: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Aplicações práticas: o tubo de Venturi) 
Quando um fluido passa por um estrangulamento a 
sua velocidade aumenta e a sua pressão cai. 
 O abastecimento de água de um edifício vem de 
um cano principal de 6 cm de diâmetro. Uma torneira 
de 2 cm de diâmetro, localizada 2,0 m acima do cano 
principal, enche um recipiente de 25,0 L em 30,0 s. (a) 
Qual é a velocidade com que a água sai da torneira? 
(b) Qual é a pressão manométrica no cano principal 
de 6 cm? Suponha que a torneira seja o único 
“vazamento” no edifício. 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
 O abastecimento de água de um edifício vem de 
um cano principal de 6 cm de diâmetro. Uma torneira 
de 2 cm de diâmetro, localizada 2,0 m acima do cano 
principal, enche um recipiente de 25,0 L em 30,0 s. (a) 
Qual é a velocidade com que a água sai da torneira? 
(b) Qual é a pressão manométrica no cano principal 
de 6 cm? Suponha que a torneira seja o único 
“vazamento” no edifício. 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 1) 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
 A figura abaixo mostra um tanque de água que 
apresenta uma válvula na parte inferior. Quando a 
válvula é aberta, qual é a altura máxima atingida pelo 
jato de água que sai ao lado direito do tanque? 
Considere que a área da seção reta no ponto A é 
muito maior do que a área da seção reta no ponto B. 
Dados: h = 10 cm, L = 2 m e = 30º. 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
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Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
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Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
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Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
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Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Apresentação da disciplina Mecânica dos Fluidos 
Fluidos em movimento 
(Exercício 2) 
Resolução: 
Na próxima aula... 
 Temperatura e a lei zero da 
termodinâmica; 
 
 Termômetros e escalas de temperatura; 
 
 Expansão térmica de sólidos e líquidos; 
 
 Aula Teórica (Quarta-feira: 09/06) 
Na próxima aula... 
 Aula Prática (Sexta-feira: 11/06, quinzenal I) 
 Revisão sobre Propagação de Erros e 
Representação Gráfica de Resultados; 
 Aula Teórica (Quarta-feira: 09/06) 
 Temperatura e a lei zero da 
termodinâmica; 
 
 Termômetros e escalas de temperatura; 
 
 Expansão térmica de sólidos e líquidos; 
 
Bibliografia 
Bibliografia básica 
 
Princípios de Física - Vol. 2, R.A. Serway e J.W. Jewett Jr., 
tradução da 3ª edição norte-americana, Ed. Cengage 
Learning, 2004 (Seções 15.5- 15.7); 
 
Fundamentos de Física - Vol. 2, D. Halliday, R. Resnick and J. 
Walker, 8ª ou 9ª edição, Ed. LTC, Rio de Janeiro, 2006 
(Seções 14.8 - 14.10). 
 
 
Bibliografia complementar 
 
Física para Cientistas e Engenheiros - Vol. 1, P.A. Tipler e J. 
Mosca, 6ª edição, Ed. LTC, Rio de Janeiro, 2011 (Seção 
13.4); 
 
Curso de Física Básica - Vol. 2, H. M. Nussenzveig, 4ª edição, 
Ed. Edgard Blücher, 2002 (Seções 2.1, 2.2, 2.4 e 2.5). 
 
Bibliografia