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Calculo Vetorial Exercicios resolvidos-cap1

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Funções Vetoriais 
1.1. 
Definição 
Uma função vetorial é aquela cujo domínio é um conjunto de números reais e cuja 
imagem é um conjunto de vetores. A equação ( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitft rrrr ++=σ é chamada de 
equação vetorial e define uma curva C. As equações x=f(t), y=g(t) e z=h(t) são chamadas de 
equações paramétricas de C e pertencem a ℜ. 
 
1.2. 
Limite de Funções Vetoriais 
Seja ( )tσr uma função com valores vetoriais cujos valores funcionais são dados por 
( ) ( ) ( ) ( )kthjtgitft rrrr ++=σ . Então, o limite de ( )tσr quando t tende a t1 será definido por: 
k)]t(hlim[j)]t(glim[i)]t(flim[))t((lim
1tt1tt1tt1tt
rrrr
→→→→
++=σ (1.1) 
se )t(flim
1tt→
, )t(glim
1tt→
 e )t(hlim
1tt→
 existirem. 
 
1.3. 
Continuidade de Funções Vetoriais 
A função ( )tσr com valores vetoriais será contínua em t1 se, e somente se, as três 
condições seguintes forem satisfeitas: 
 
i. ( )tσr existe 
 
ii. ( )tlim
1tt
σr
→
 existe 
 
iii. ( ) ( )1
1tt
ttlim σσ rr =
→
 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 9
1.4. 
Derivada de funções vetoriais 
Se ( )tσr for uma função com valores vetoriais, então a derivada de ( )tσr também será 
uma função com valores vetoriais, denotada ( )t'σr e definida por: 
t
)t()tt(lim)t('
0t Δ
σΔσσ Δ
rrv −+=
→
 (1.2) 
se o limite existir. 
 
1.4.1. 
Propriedades da Derivada 
Teorema: Sejam ( )tRr e ( )tFr funções vetoriais definidas num intervalo I C ℜn, r um 
escalar e f uma função real. 
 
1. )t('F)t('R)FR(
dt
d rrrr ±=± 
2. )t('Rr))t(Rr(
dt
d rr = 
3. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'RtftRt'ftRtf
dt
d rrr += 
4. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'FtRtFt'RtFtR
dt
d rrrrrr ⋅+⋅=⋅ 
1. ( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )t'FtRtFt'RtFtR
dt
d rrrrrr ×+×=× 
6. [ ] ( )( ) ( )dttdf)tf(d )tf(Fd))t(f(Fdtd ×=
rr
 
 
1.4.2. 
Derivadas de Ordem Superior 
))t(''h),t(''g),t(''f()t('' =σr (1.3) 
))t(h),t(g),t(f()t( nnnn =σr (1.4) 
( )tσr é de classe C1, se σr , 'σr forem contínuas e classe C2 se σr , 'σr e ''σr forem contínuas e 
assim sucessivamente. 
 
 
 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 10
1.4.3. 
Regra da Cadeia para Funções Vetoriais 
Teorema: Se ( )uσr é uma função vetorial diferenciável num intervalo I, e u é uma 
função real diferenciável de uma variável então: 
dt
)t(du.
)t(du
))t(u(d
dt
))t(u(d σσ rr = (1.5) 
 
A expressão da regra da cadeia na forma escalar torna-se: 
)
dt
)t(du.
)t(du
))t(u(dh,
dt
)t(du.
)t(du
))t(u(dg,
dt
)t(du.
)t(du
))t(u(df(
dt
d =σ
r
 (1.6) 
1.4.4. 
Tangentes 
Eliminando-se t das equações paramétricas, obtém-se a equação cartesiana da curva C 
de forma implícita ou explícita, assim y é definida como uma ou mais funções de x, i-sto é, se 
x=f(t) e y=g(t), então y=h(x). Se h for uma função diferenciável de t, então, pela regra da 
cadeia: 
dt
dx.
dx
dy
dt
dy = (1.7) 
 
Se, 0dt/dx ≠ podemos dividir ambos os membros da igualdade acima por dtdx e obter 
dt
dx
dt
dy
dx
dy = (1.8) 
 
1.4.5. 
Cálculo da Segunda Derivada 
O cálculo da segunda derivada é importante para se avaliar a concavidade de curvas 
definidas paramétricamente. 
dt
dx
dx
dy
dt
d
dx
yd
2
2 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
= (1.9) 
 
 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 11
1.5. 
Integral de funções vetoriais 
A integral definida de uma função vetorial ( )tσr pode ser definida da mesma forma que 
para a função real, exceto que a integral resulta num vetor. Pode-se expressar a integral de σr 
como a integral de suas funções componentes f, g e h como se segue: 
( ) ( ) ( ) ( ) kdtthjdttgidttfdtt b
a
b
a
b
a
b
a
rrrr
⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛+⎟⎟⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛= ∫∫∫∫σ (1.10) 
Estende-se o Teorema Fundamental do Cálculo para funções vetoriais contínuas como se 
segue: 
( ) ( )] ( ) ( )arbrtrdtt ba
b
a
−==∫σr (1.11) 
onde r é uma primitiva deσr . 
 
1.6. 
Cálculo de Áreas 
Suponha que uma função vetorial seja definida pelas suas equações paramétricas x=f(t), 
y=g(t). Sabe-se que a área sob o gráfico de uma função y =F(x) é dada por: 
 ∫=
b
a
dx)x(FA (1.12) 
Para se calcular a área sob um gráfico de uma curva C definida por suas equações 
paramétricas, faz-se mudança de variáveis na expressão (1.12) como a seguir: 
( ) ( )dtt'xdxt'x
dt
dx =⇒= e ( ) ( )tgxFy == (1.13) 
( ) ( )∫=
β
α
dtt'xtgA (1.14) 
1.7. 
Comprimento de Arco 
Seja C a curva com equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), com 'f e 'g contínuas no 
intervalo fechado [a,b]. Então, se L for o comprimento de arco da curva C entre os pontos 
(f(a),g(a)) e (f(b),g(b)) então: 
∫ += b
a
22 dt))t('g())t('f(L (1.15) 
 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 12
Para a curva C tendo como equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), seja S o comprimento 
de arco de C do ponto (f(to),g(to)) ao ponto (f(t),g(t)) e vamos supor que S seja crescente 
enquanto t cresce. Então, S será uma função de t dada por: 
du)]u('g[)]u('f[S
t
to
22∫ += (1.16) 
Do primeiro teorema fundamental do cálculo 
22 )]t('g[)]t('f[
dt
dS += (1.17) 
22 )]t('g[)]t('f[)t(' +=σr (1.18) 
 
Logo, 
dt
dS)t(' =σr (1.19) 
Teorema: Seja C a curva com equação vetorial ( ) ( ) ( ) jtgitft rrr +=σ , com 'f e 'g contínuas no 
intervalo fechado [a,b]. Então, o comprimento de arco de C, traçado pelo ponto final da 
representação posicional de ( )tσr quando t cresce de a até b, é determinado por: 
∫= b
a
dt)t('L σr (1.20) 
1.8. 
Aplicações ao Movimento 
Seja C a curva tendo equações paramétricas x=f(t) e y=g(t). Se uma partícula estiver se 
movendo ao longo de C de tal forma que sua posição em qualquer instante t seja o ponto (x,y), 
então a velocidade instantânea da partícula no instante t será determinada pelo vetor 
velocidade dado por: 
( ) ( ) ( ) jt'git'ftV rrr += (1.21) 
se ( )t'f e ( )t'g existirem. Como a direção de ( )t'σr no ponto P(f(t),g(t)) é ao longo da reta 
tangente à curva C no ponto P, o vetor velocidade V(t) tem o mesmo sentido ( )t'σr em P. 
O módulo do vetor velocidade é uma medida da velocidade escalar da partícula no 
instante t sendo dada por: 
22 )]t('g[)]t('f[)t(V)t(v +== r (1.22) 
A velocidade escalar é a taxa de variação de S em relação a t e escreve-se da seguinte 
forma: 
Capítulo 1 – Funções Vetoriais 13
dt
dS)t(V)t(v == r (1.23) 
A aceleração instantânea no instante t de uma partícula movendo-se ao longo de uma 
curva C, tendo como equações paramétricas x=f(t) e y=g(t), é determinada pelo vetor 
aceleração: 
)t('')t(A)t('V)t(A σ=⇔= (1.24) 
 
onde ( )t''σr existe. 
 
Exercícios: 
1) Fazer uma parametrização da reta L no 3ℜ que passa pelo ),,( 000 zyxPo e é paralelo ao 
vetor V
r
0),,( 321 ≠vvv 
Solução: 
)tvz, tvy, tvx()t(
tvzz tvzz
tvyy tvyy
tvxx tvxx
)v,v,v(t )zz,yyxx(
302010
3030
2020
1010
32100,0
+++=
+==−
+==−
+==−
=−−−
σr
 
 
2) Parametrize a curva C que é interseção da semi-esfera 0 2222 ≥=++ zyzyx 
 com o plano 01 =+− yz 
Solução: 
1
2
sen
1
2
sen 
2
sen)1( sen)1(2
cos
1)1(2
1242 022212
2)1( 2
z subst. 1
01
22
222
22
22222
222222
+=
+=⇒=−⇒=−
=
=−+
=+−+⇒=−+−+−++
=−++⇒=++
−=
=+−
ty
tytyty