A2 - Cálculo Aplicado - Várias Variáveis

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 Pergunta 1 
1 em 1 pontos 
 
 O vetor gradiente nos informa a direção na qual a função cresce mais 
rapidamente em um dado ponto, sendo que a taxa máxima de aumento é definida 
como a norma do vetor gradiente nesse ponto. Considerando a densidade , 
medida em , em todos os pontos de uma placa retangular no 
plano dada por , assinale a alternativa que corresponde à taxa máxima 
de aumento da densidade no ponto . 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
A taxa máxima de aumento da densidade é . 
Resposta Correta: 
A taxa máxima de aumento da densidade é . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A taxa máxima de 
aumento da densidade, conforme o enunciado nos traz, é a norma 
do vetor gradiente no ponto considerado. Dado que o vetor 
gradiente no ponto P(1,2) é e sua norma é , concluímos 
que a taxa máxima de aumento da densidade é . 
 
 
 Pergunta 2 
1 em 1 pontos 
 
 De acordo com Leithold (1994, p. 975), “qualquer derivada direcional de uma 
função diferenciável pode ser obtida se multiplicarmos escalarmente o gradiente 
pelo vetor unitário na direção e sentido desejados”. 
 
LEITHOLD, L. Cálculo com geometria analítica . Vol. 2. 3. ed. São Paulo: 
Harbra, 1994. 
 
De acordo com essa definição e considerando a função e o ponto P(0,1), 
assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 na direção de . 
Resposta Correta: 
 
 na direção de . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais 
da função e seu vetor gradiente são: , e . 
Assim, . Temos ainda que vetor unitário na direção de é 
o vetor . Portanto, a derivada direcional é . 
 
 Pergunta 3 
1 em 1 pontos 
 
 
O gráfico de uma função de duas variáveis é um conjunto do espaço , 
enquanto que o seu domínio é uma região do plano . Para determinar o 
domínio da função de duas variáveis , precisamos verificar se não há 
restrições para os valores que e podem assumir. 
Com relação ao domínio de uma função de duas variáveis, analise as afirmativas 
a seguir. 
 
I. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
II. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
III. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
IV. O domínio da função corresponde à região a seguir. 
 
 
Assinale a alternativa que apresenta a(s) afirmativa(s) correta(s). 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
I, apenas. 
Resposta Correta: 
I, apenas. 
 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Verificando as 
restrições para a função, temos que apenas a afirmativa I é 
verdadeira, pois: 
Afirmativa I: Correta. A função tem as seguintes 
restrições e , portanto, o domínio da função é o 
conjunto , que corresponde à região dada na afirmativa. 
 
 Pergunta 4 
1 em 1 pontos 
 
 Toda função possui uma característica particular. No caso das funções de duas 
variáveis temos que o domínio desse tipo de função pode ser dado como o 
conjunto de pares ordenados pertencentes ao plano que satisfazem a 
lei de formação da função . Assim, para determinar o domínio da 
função precisamos verificar se não há restrições para os valores 
que e podem assumir. 
 
Com relação ao domínio de funções, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
O domínio da função é o conjunto . 
Resposta Correta: 
O domínio da função é o conjunto . 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Temos as 
seguintes restrições para os valores de e : 
(I) A expressão dentro da raiz deve ser não negativa, isto 
é, 
(II) A expressão do denominador deve ser não nula, isto é, 
Portanto, a interseção dos conjuntos (I) e (II) resulta em . 
Logo, . 
 
 
 Pergunta 5 
1 em 1 pontos 
 
 A derivada direcional é uma ferramenta muito útil quando se deseja determinar a 
direção no plano no qual a função cresce mais rápido. No caso, essa direção de 
maior crescimento corresponde à direção do vetor gradiente em sua forma 
unitária. Já a direção oposta ao vetor gradiente irá denotar a direção de maior 
decrescimento da função. 
 
Com base nessas informações, determine a direção de maior crescimento da 
função no ponto P(1,2). 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. A direção de maior 
crescimento é . Precisamos então determinar o vetor 
gradiente. O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas 
parciais da função , assim, 
Derivadas parciais e vetor gradiente no ponto P(1,2): 
- 
- 
- 
 
A norma do vetor gradiente no ponto P(1,2) é . 
Assim, a direção de maior crescimento é . 
 
 
 Pergunta 6 
1 em 1 pontos 
 
 A derivada direcional é máxima quando o vetor unitário tomado e o vetor gradiente 
da função estiverem na mesma direção e sentido, isto é, quando o ângulo entre os 
dois vetores é nulo. Essa afirmação nos leva a concluir que a derivada direcional é 
máxima para o vetor unitário do vetor gradiente. 
 
A partir do exposto, assinale a alternativa que apresente a direção de máximo 
crescimento da função no ponto P(-1,1). 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. As derivadas parciais 
da função e o vetor gradiente são: , e . Logo, . 
Como a direção de máximo crescimento se dá no vetor unitário 
com mesma direção e sentido do vetor gradiente, temos que o 
vetor procurado é . 
 
 Pergunta 7 
1 em 1 pontos 
 
 Esboçar o gráfico de uma função de duas variáveis sem o auxílio de um software 
pode ser trabalhoso às vezes. Para contornar esse problema, outro recurso que 
podemos utilizar para visualizar geometricamente o comportamento da função é o 
conceito de curva de nível. 
 
A respeito das curvas de nível, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço . 
Resposta Correta: 
Uma curva de nível é um subconjunto do espaço . 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. O gráfico de uma 
função de duas variáveis é um conjunto de pontos do espaço , 
para poder visualizar uma representação geométrica da função no 
plano recorremos ao uso das curvas de nível, que são curvas 
planas do plano . Portanto, uma curva de nível é um 
subconjunto do plano . 
 
 
 Pergunta 8 
1 em 1 pontos 
 
 O vetor gradiente é o vetor formado pelas derivadas parciais de uma função, isto 
é, dada a função o vetor gradiente é o vetor . Dado um ponto , o 
vetor gradiente da função no ponto P é obtido por meio da seguinte 
expressão . 
 
 
Assinale a alternativa que corresponde ao vetor gradiente da função no 
ponto . 
 
 
Resposta Selecionada: 
 
Resposta Correta: 
 
Comentário da 
resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Primeiro, vamos 
calcular as derivadas parciais da função: 
- Derivada de em relação a (a variável é vista 
como constante): 
- Derivada de em relação a (a variável é vista 
como constante): . 
Calculando as derivadas parciais no ponto , 
temos e . Logo, o vetor gradiente é . 
 
 
 Pergunta 9 
1 em 1 pontos 
 
 Derivar funções compostas é um processo que requer muito cuidado em cada 
etapa. Esse tipo de função é derivada fazendo o uso da chamada regra da cadeia. 
No caso de funções de duas variáveis, temos que observar quais são as variáveis 
independentes, as variáveis intermediárias e a variável dependente. Sabemos que 
podemos escrever . Se e e . 
 
Com base no exposto, assinale a alternativa correta. 
 
 
 
Resposta Selecionada: 
As variáveis e são as variáveis independentes. 
Resposta Correta: 
As variáveis e são as variáveis independentes. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativaestá correta. Temos que a 
variável depende das variáveis e , pois . No 
 
entanto, as variáveis e dependem das 
variáveis e e essas últimas não possuem dependência de 
nenhuma outra variável. Dessa forma, concluímos que as 
variáveis e são as variáveis independentes. 
 
 Pergunta 10 
1 em 1 pontos 
 
 A lei dos gases ideais é uma função que relaciona as grandezas de temperatura 
(T), pressão (P) e volume (V) de um gás ideal. Expressando essa lei como a 
função , onde é uma constante dada, considere um gás com o volume 
de sob uma pressão de . O volume está aumentando a uma taxa 
de e a pressão está decrescendo a uma taxa de por segundo. 
 
Assinale a alternativa que representa a taxa de variação da temperatura 
considerando as informações anteriores. (Use ). 
 
 
 
Resposta 
Selecionada: 
 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por 
segundo no instante dado. 
Resposta Correta: 
A temperatura está diminuindo a uma taxa de por 
segundo no instante dado. 
Comentário 
da resposta: 
Resposta correta. A alternativa está correta. Pela lei dos gases 
ideais , onde , temos . Pelas informações do 
enunciado, temos , , e . Derivando a 
função com relação ao tempo , pela regra da cadeia, 
temos: , onde e . Assim, . Portanto, a 
temperatura está diminuindo a uma taxa de por segundo no 
instante dado.