FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA c

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FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	
	CEL1406_A1_201804149543_V1
	
	
	
	
		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Considere a operação binária * sobre R, definida por x*y = mx + ny + kxy, onde m, n e k são números reais dados. Estabeleça as condições sobre m, n e k de modo que essa operação seja comutativa. 
	
	
	
	m = k
	
	
	n = k
	
	
	m > n
	
	
	m < n
	
	
	m = n
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x * y = x + y - 3 é um grupo. Determine o elemento neutro.
	
	
	
	e = 4
	
	
	e = 6
	
	
	e = 3
	
	
	e = 1
	
	
	e = -2
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		
	
	
	
	Existe elemento neutro e = 0
	
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	
	Existe elemento neutro e = 1
	
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	
	Não existe elemento neutro
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	4
	
	
	12
	
	
	1
	
	
	3
	
	
	5
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere em Z a operação * definida por:
* : Z x Z → Z
(x,y) → x*y = x + y + xy
Verifique a existência do elemento neutro.
	
	
	
	Não existe elemento neutro
	
	
	Existe elemento neutro e = 2
	
	
	Existe elemento neutro e = 0
	
	
	Existe elemento neutro e = 1
	
	
	Existe elemento neutro e = -1
	
	
	
	 
		
	
		6.
		O conjunto  R  dotado da operação  *  tal que  x ⋆ y=x+y2   é um grupo ?
	
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	
	Sim, pois existe elemento neutro e = 1
	
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	
	Sim, pois existe elemento simétrico
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		O conjunto dos números reais e a operação multiplicação, possuem estrutura de grupo. Nestas condições, a propriedade que garante que seja um grupo abeliano é:
	
	
	
	Elemento inverso.
	
	
	Comutativa.
	
	
	Associativa.
	
	
	Elemento neutro.
	
	
	Distributiva.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		O conjunto  Z dotado da operação *  tal que  x * y = x + y - 3  é um grupo ?
	
	
	
	Não, pois não existe elemento neutro.
	
	
	Não, pois a propriedade associativa não foi verificada.
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada, existe elemento neutro e existe elemento simétrico.
	
	
	Não, pois não existe elemento simétrico.
	
	
	Sim, pois a propriedade associativa foi verificada e isso é uma condição suficiente para Z com a operação dada ser um grupo.
	
	
	
	FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
	
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	CEL1406_A2_201804149543_V1
	
	
	
	
		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Marque a alternativa que indica a tábua da operação * sobre o conjunto A = {1, i, -1, -i}, definida por x * y = xy.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
	
	
	
	2, 3 e 5
	
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	
	2, 3, 4 e 5
	
	
	1, 2 e 5
	
	
	1, 3 e 4
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Seja G = {1, 2, 3, 4, 5} um conjunto com uma operação  *  apresentada na tábua de operação abaixo.
 
 
De acordo com a análise da tábua marque a alternativa que apresenta todos os elementos regulares.
	
	
	
	1, 2 e 5
	
	
	2, 3 e 5
	
	
	2, 3, 4 e 5
	
	
	1, 3 e 4
	
	
	1, 2 ,3, 4 e 5
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Calcule o produto (27).(45) considerando Z10.
	
	
	
	7
	
	
	3
	
	
	35
	
	
	5
	
	
	10
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Considere o grupo < Z5, +> . Construa a tabela de operações e identifique quem são os elementos simétricos.
	Tábua de operações
	+
	0
	1
	2
	3
	4
	0
	 
	 
	 
	 
	 
	1
	 
	 
	 
	 
	 
	2
	 
	 
	 
	 
	 
	3
	 
	 
	 
	 
	 
	4
	 
	 
	 
	 
	 
 
	
	
	
	0=2;1=2;1= 4; 2=0;3=0;3= 2; 4`= 1
	
	
	0=3;1=3;1= 2; 2=4;3=4;3= 0; 4`= 2
	
	
	0=1;1=1;1= 2; 2=3;3=3;3= 1; 4`= 0
	
	
	0=0;1=0;1= 4; 2=3;3=3;3= 2; 4`= 1
	
	
	0=4;1=4;1= 0; 2=3;3=3;3= 2; 4`= 1
	
Explicação: Os elementos simétricos são aqueles que, operado com outro, resulte no elemento neutro do grupo.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a alternativa que apresenta a construção correta da tábua de uma operação * sobre o conjunto G = {1,2,3,4} de acordo com as condições (I), (II), (III), (IV) e (V) dadas.
(I) 1 é o elemento neutro
(II) seja comutativa
(III) todos os elementos de G são simetrizáveis
(IV) todos os elementos de G são regulares
(V) 2*3 = 1
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Calcule o produto 259 . 371 considerando o conjunto  Z11.
	
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	6
	
	
	48
	
	
	8
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere o conjunto (Z5, +). Marque a alternativa que indica a solução de equação x + 4 = 2
	
	
	
	6
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	3
	
	
	7
	
	
	
	FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	
	CEL1406_A3_201804149543_V1
	
	
	
	
		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		A tábua abaixo com a operação *  mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
	
	
	
	x = c  
	
	
	x = a
	
	
	x = d
 
	
	
	x = f
	
	
	x = b
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Considere o grupo (Z10,+).  Determine o subgrupo gerado pelo elemento 3.
	
	
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
	
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	
	Z10 = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}.
	
	
	Z10 = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação axb-1 = d , onde x é um elemento de G.
	
	
	
	x = d
	
	
	x = f
	
	
	x = c
	
	
	x = a
	
	
	x = b
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere as seguintes afirmações:
 
(I) 3Z é subgrupo de 6Z.   
(II) 2Z + 1 dos inteiros ímpares não é subgrupo do grupo (Z, +).  
(III) (Q, +) é um subgrupo de (R, +)  
(IV) (Z, +) não é um subgrupo de (Q, +) 
 
Podemos concluir que
	
	
	
	As afirmações I e II são verdadeiras
	
	
	As afirmações II e III são verdadeiras
	
	
	As afirmações III e IV são falsas
A afirmação I é verdadeira
	
	
	As afirmações I e III são falsas
	
	
	
	 
		
	
		5.
		A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. A partir da tábua encontre a solução da equação bxc = d-1, onde x é um elemento de G.
	
	
	
	x = f
	
	
	x = b
	
	
	x = a
	
	
	x = d
	
	
	x = c
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o grupo (Z*7, .)  e  a = 5. Determine a2 .
	
	
	
	3
	
	
	1
	
	
	25
	
	
	0
	
	
	4
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere o grupo (Z,+)  e  a = 4. Determine a2.
	
	
	
	4
	
	
	8
	
	
	16
	
	
	1
	
	
	2
	
	
	
	 
		
	
		8.
		A tábua abaixo com a operação * mostra que o conjunto G = {e,a,b,c,d,f} é um grupo. Determine os geradores de G.
	
	
	
	A e D
	
	
	B e C
	
	
	B, D e F
	
	
	C e F
	
	
	A e F
	
	
	
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	CEL1406_A4_201804149543_V1
	
	
	
	
		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Considere  o  grupo multiplicativo G = {1, i, -1, -i}  e H = {1, -1} subgrupo de G. Marque a alternativa que indica  as classes laterais G.
	
	
	
	{i, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {1, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}, {-1, -1}
	
	
	 {1, -1} , {i, - i}
	
	
	{1, -1},  {i, - i}, {i, -1}
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Se G é um grupo finito e H um subgrupo de G, então:
	
	
	
	A ordem de H é um múltiplo da ordem de G.
	
	
	H é cíclico
	
	
	A ordem de G divide a ordem de H.
	
	
	Grupos finitos não têm subgrupos.
	
	
	A ordem de H divide a ordem de G.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Considere o Teorema de Lagrange:
Seja H um subgrupo de um grupo finito G, então a O(G) = (G:H).O(H). Ou seja, o Teorema mostra que a ordem de H,  O(H),  é um divide a ordem de G, O(G), e O(G) = (G:H).O(H).
Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta do Teorema.
	
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r e seja {a1H, a2H, ..., arH} o conjunto de todas as classes laterais à esquerda módulo H. Como cada elemento de G figura em uma única dessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que o(H) = o(G). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	Suponhamos que (G:H) = r . Então a1H U a2H U ... U arH = G ,  já que a união de todas as classes laterais módulo H é  igual a G. Como cada elemento de G figura em mais de uma vez nessas classes e como o número de elementos de cada classe é o(H), temos então que r.o(H) = o(G), mas r = (G:H). Logo (G:H).o(H) = o(G) ou o(H)/o(G).
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Considere o grupo aditivo (Z6,+)  e N = {0,3} um subgrupo de G. Determine as classes laterais de N em G.
	
	
	
	G/N = {0 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 1 + N, 2 + N}
	
	
	G/N = {1 + N, 3 + N, 4 + N}
	
	
	G/N = {0 + N, 4 + N, 5 + N}
	
	
	G/N = {1 + N, 2 + N, 3 + N}
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
	
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 1 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 3 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o 2 + H
	
	
	O elemento neutro do grupo quociente G/H é o H + H
	
	
		
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		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Marque a alternativa que indica corretamente a definição de isomorfismo de grupos.
 
	
	
	
	Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀∀ ∈∈ G1 onde  f é um homomorfismo de grupos.
	
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção.
	
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆).  Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)*f(y)  ∀∀ ∈∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆).  se, e somente se, f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀∀ ∈∈ G1  onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	
	Vamos considerar dois grupos (G1,*) e (G2,∆). Dizemos que uma aplicação f: G1 →G2 é um isomorfismo de grupos, de (G1,*) em (G2,∆) se, e somente se, f é uma bijeção  e  f(x*y) = f(x)∆f(y)  ∀∀ ∈∈ G1 onde f é um homomorfismo de grupos.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
	
	
	
	 1234143212341432
	
	
	 1234421312344213
	
	
	1234312412343124
	
	
	1234324112343241
 
 
	
	
	 1234241312342413
	
	
	
	 
		
	
		3.
		
	
	
	
	(12343241)(12343241)
	
	
	(12341432)(12341432)
	
	
	(12342413)(12342413)
	
	
	(12344213)(12344213)
	
	
	(12343124)(12343124)
	
	
	
	 
		
	
		4.
		
	
	
	
	1234324112343241
	
	
	1234241312342413
	
	
	1234312412343124
	
	
	1234421312344213
	
	
	1234143212341432
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque a alternativa correta.
	
	
	
	Seja f: A → B   tal que f(a) = 0. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z → Z   tal que f(x) = -x. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: A → B   tal que f(a) = a. f não é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z x Z → Z   tal que f(x,y) = x.  f não é um homomorfismo de anel.
	
	
	Seja f: Z → Z   tal que f(x) = 2x. f é um homomorfismo de anel.
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere o seguinte resultado sobre isomorfismos de grupos:
Sejam m, n elementos de N*  tais que m|n. Se n = md, d é um elemento de N, então pelo Teorema do Isomorfismo concluímos que
 
De acordo com o resultado apresentado, marque a alternativa correta.
 
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja A um anel e f uma função definida de A em A onde f(x) = x. Determine o núcleo de f.
	
	
	
	N(f) = {2}
	
	
	N(f) = {1}
	
	
	N(f) = {3}
	
	
	N(f) = {0}
	
	
	N(f) = {4}
	
	
	
	 
		
	
		8.
		
	
	
	
	N(f) = {1}
	
	
	N(f) = {4}
	
	
	N(f)
= {3}
	
	
	N(f) = {2}
	
	
	N(f) = {0}
	
	
	
	FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	
	CEL1406_A6_201804149543_V1
	
	
	
	
		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Encontre a solução do sistema de equações determinado pela equações 3x+2y=1 e 4x+6y=2 no Anel Z7 .
	
	
	
	X= 2 e y=4
	
	
	X= 2 e y=3
	
	
	X= 3 e y=3
	
	
	X= 5 e y=6
	
	
	X= 2 e y=2
	
	
	
	 
		
	
		2.
		
   O elemento neutro desse anel é
 
	
	
	
	e = 1
 
	
	
	e = 2
 
	
	
	e = -2
	
	
	e = -1
 
	
	
	e = 0
 
	
	
	 
		
	
		3.
		Com as operações de anel estudadas analise as proposições abaixo e sinalize as corretas.
(I) (Z, +), (Q, +), (R, +) e (C, +) são grupos abelianos finitos.
(II) (Zn , +),  n∈N⋅n∈N⋅ é um grupo abeliano finito com n elementos.
(III) Se A é um anel, então (Mn(A), +) é um grupo abeliano para cada n∈Nn∈N.
 
	
	
	
	Apenas a afirmativa II está correta
	
	
	As afirmativas I e II estão corretas
	
	
	As afirmativas I, II e III estão corretas
	
	
	As afirmativas I e III estão corretas
	
	
	As afirmativas II e III estão corretas
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Resolvendo a equação 3x + 2 = 6x + 7 no anel Z8 encontramos como solução :
	
	
	
	x = 10
	
	
	x = 1
	
	
	x = 5
	
	
	x = 8
	
	
	x = 3
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
	
	
	
	∀x∈Z,∃(−2−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2-x)∈ℤ
	
	
	∀x∈Z,∃(1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(1-x)∈ℤ
	
	
	∀x∈Z,∃(−1−x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-1-x)∈ℤ
	
	
	∀x∈Z,∃(2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(2+ x)∈ℤ
	
	
	∀x∈Z,∃(−2+ x)∈Z∀x∈ℤ,∃(-2+ x)∈ℤ
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Considere as operações x * y = x + y - 2  e  x ΔΔ y = xy - 2x - 2y + a, com a∈Za∈ℤ. Para que valor de a, (Z, * , ΔΔ) é um anel?
	
	
	
	a = 6
	
	
	a = 1
	
	
	a = - 2
	
	
	a = 2
	
	
	a = 3
	
	
	
	 
		
	
		7.
		As tábuas abaixo representam as operações de adição e multiplicação no anel
A = {a,b,c} com três elementos distintos. As tábuas estão incompletas. Marque a alternativa que apresenta os elementos que estão faltando nas tabelas da adição e multiplicação, respectivamente.
 
	
	
	
	c - b
	
	
	a - c
 
	
	
	a - b
	
	
	b - a
	
	
	b - c
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Com as operações induzidas pelas operações de Z, identifique o anel que não possui elemento neutro para a operação de multiplicação usual:
	
	
	
	Zn
	
	
	Z_
	
	
	Z
	
	
	nZ
	
	
	Q
	
	
	FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	
	CEL1406_A7_201804149543_V1
	
	
	
	
		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z∈Ax,y,z∈A  então  (x - y)z = xz - yz.
 
	
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos:  xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
         Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Sejam A um anel e a,b ϵ A. (I) a.0=0; (II) a.(-b)=(-b).a= -b.a; (III) (-1).a= -a; (IV) a+b=b+a; Segundo as afirmativas,
	
	
	
	apenas (IV) está incorreta.
	
	
	apenas (II) está incorreta.
	
	
	Todas estão incorretas
	
	
	apenas (III) está incorreta.
	
	
	apenas (I) está incorreta.
	
	
	
	 
		
	
		3.
		A professora Ana provou uma das propriedades dos anéis para os seus alunos do Curso de Matemática. Marque a alternativa que apresenta a demonstração correta da proposição abaixo:
          Se  (A, + ,⋅ ) é um anel  e  x,y,z∈Ax,y,z∈A  então  (x - y)z = xz - yz.
 
	
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos:  xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
          Pela propriedade  -(xy) = (-x)y = x(-y), temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z = xz + (-y)z (pelo axioma da distributividade).
         Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	Seja  (A, + ,⋅ ) um anel e  x,y,z  elementos de A.
Temos: (x - y)z = (x + (-y))z
          Temos  xz + (-yz) = xz - yz.
Portanto,  (x - y)z = xz - yz.
	
	
	
	 
		
	
		4.
		A
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado:
Seja A um anel,  a∈Aa∈A  e  ∀∈Z∀∈ℤ    temos:
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
	
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
(m - k)a = ma - ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Indique nas alternativas abaixo a unidade
do anel (Zm,+, .) para m ≥ 2 onde m é um elemento do conjuntos dos inteiros.
	
	
	
	¯44¯
	
	
	¯33¯
	
	
	¯55¯
	
	
	¯11¯
	
	
	¯22¯
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		6.
		A
A Professora Ana definiu múltiplo de um anel e apresentou a seguinte proposição sobre o assunto estudado:
Seja A um anel,  a∈Aa∈A  e  ∀∈Z∀∈ℤ    temos:
(m + n)a = ma + na. Ela fez a demonstração dessa proposição por indução.
Marque nas alternativas abaixo a demonstração correta.
	
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 2.
(m - k)a = ma - ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Agora vamos considerar verdadeiro para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que para n = k ≥ 1.
(m + k)a = ma + ka
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	Seja A um anel, e  m,n∈Zm,n∈ℤ .
Por indução sobre n verificamos que:
Para n = 1 temos (m + 1)a = ma + 1a a propriedade é verdadeira.
Vejamos que é válido para n = k + 1.
(m + k + 1) = ma + ka + 1a = ma + (ka + 1a) = ma + (k + 1)a.
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Considere as seguintes afirmações: 
(I) Se (A,+, .) é um anel comutativo, então (AK, +, .) é comutativo.  
(II) Se A e B são anéis com unidade, então A x B não tem unidade.
(III) Se (A,+, .) é um anel com unidade, então (Mnxn(A),+, .) tem unidade. 
(IV) (Zm , +, .) é um anel comutativo com unidade. 
 
Com relação as afirmações podemos concluir que:
 
	
	
	
	Somente a I, III e IV estão corretas.
	
	
	Somente a I está correta.
	
	
	Somente a II e IV estão corretas.
	
	
	Somente a II e III estão corretas.
	
	
	Somente a III e IV estão corretas.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Identifique o anel abaixo com a soma e produto usuais, que é um anel comutativo sem unidade.
	
	
	
	Q
	
	
	O conjunto M2(Z) das matrizes 2 × 2
	
	
	Z
	
	
	2Z
	
	
	Z+
	
	
	FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	
	CEL1406_A8_201804149543_V1
	
	
	
	
		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		A definição de divisores de uma anel diz que: Seja A um anel com as operações usuais de adição e multiplicação, e sejam x e y dois elementos de A,  com x ≠ 0 e
 y ≠ 0. Se xy = 0A,  podemos dizer que x e y são divisores próprios de zero. A partir da definição marque a alternativa correta.
	
	
	
	O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) não tem divisores de zero para todo n ≥ 2. 
	
	
	3, 5, e 12  são os únicos divisores de Z15.
	
	
	2, 3 e 4 são divisores próprios de zero no anel Z6  
	
	
	o anel Z7  possui divisores próprios de zero. 
	
	
	2 e 4 não são divisores de zero em Z8.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		O anel Z6  admite quantos divisores de zero?
	
	
	
	2
	
	
	3
	
	
	4
	
	
	5
	
	
	1
	
	
	
	 
		
	
		3.
		Se B e C são subanéis de A, indique a opção que melhor representa a prova que a intersecção de B e C é subanel de A:
	
	
	
	Sejam x e y pertencentes ao subanel B e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x.y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x.y pertence a C (Subanel por hipótese) , logo x.y pertence a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y pertence a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	
	Sejam x e y pertencentes a intersecção dos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	
	Sejam x e y pertencentes aos subanéis B e C e sendo assim x e y pertence a B logo x+y e x.y pertencem a B (Subanel por hipótese) por outro x e y pertence a C , logo x+y e x.y pertencem a C (Subanel por hipótese) , logo x+y e x.y pertencem a intersecção B e C e assim podemos concluir que a intersecção entre B e C é Subanel .
	
	
	
	 
		
	
		4.
		No corpo Z11 resolva a equação x3 = x. 
	
	
	
	S = {0,1 }
 
	
	
	S = {1,11}
	
	
	S = {0,1,10}
 
	
	
	S = {0,2,12}
	
	
	S = {0,10}
	
	
	
	 
		
	
		5.
		Marque a única alternativa correta sobre os subanéis.
	
	
	
	O conjunto dos números pares é um subanel Z, pois dado o conjunto S = {2n/ n ∈∈Z}
	
	
	O conjunto dos números ímpares é um subanel de Z.
	
	
	O conjunto 3Z6 não é um subanel de Z6.
 
	
	
	(Z,+,.) não é um subanel de (Q,+,.) (R,+,.) (C,+,.).  
	
	
	Q,+,.)  não é um subanel de (R,+,.)  e (C,+,.).
 
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Indique todos os divisores de zero do anel Z15.
	
	
	
	2,3,6,8 e 10
	
	
	3,5,9,10 e 12
	
	
	3,5,9,10 e 15
	
	
	3,5,6,10 e 15
	
	
	5,9,10, e 15
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Marque a alternativa que indica a definição correta de subanel.
	
	
	
	Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele é um anel com as operações do anel A, isto é, S é fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, x + y ∈∈S  e xy ∈∈S,  ∀∀ x,y `in´S, e  (S, +, .)  também for um anel.
	
	
	Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele é um anel com as operações do anel A, isto é, S é fechado para as operações de adição e multiplicação, ou seja, x + y ∈∈S  e xy ∈∈S,  ∀∀ x,y `in´S.
	
	
	Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele é um anel com as operações do anel A, isto é, S é fechado somente para a operação de adição, ou seja, x + y ∈∈S  e xy ∈∈S.
	
	
	Seja (A, +, .) um anel e S ≠ Ø um subconjunto não vazio de A. Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se (S, +, .)  também for um anel.
	
	
	Dizemos que (S, +, .) é um subanel de A, se ele não é um anel com as operações do anel A  e xy ∈∈S,  ∀∀ x,y `in´S, e  (S, +, .)  também for um anel.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		Considere as seguintes afirmações:
(I)                2 e 3 são divisores próprios de zero do anel Z6.
(II)             O anel Z7 possui divisores próprios de zero.
(III)          Seja x um elemento de Zm. Podemos dizer que x é um divisor de zero, se o mdc(x,m) = 1.
(IV)          O anel das matrizes (Mn(A), +, . ) tem
divisores de zero para todo n ≥ 2.
Podemos afirmar que:
	
	
	
	Somente as afirmativas I, III e IV são verdadeiras.
	
	
	Somente as afirmativas II e III são verdadeiras.
	
	
	Somente a afirmativa I é verdadeira.
	
	
	Somente a afirmativa II é verdadeira.
	
	
	Somente as afirmativas I e IV são verdadeiras.
	
	
	FUNDAMENTOS DE ÁLGEBRA
	
		Lupa
	 
	Calc.
	
	
	 
	 
	 
	 
	
	CEL1406_A9_201804149543_V1
	
	
	
	
		Aluno: RAFAELA CIRQUEIRA DE AZEVEDO
	Matr.: 201804149543
	Disc.: FUNDAMENTOS DE ÁLG. 
	2021.1 EAD (G) / EX
		Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu TESTE DE CONHECIMENTO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
	
	 
		
	
		1.
		Considere a seguinte proposição: Se K é corpo, então K é anel de integridade.
Indique a alternativa que apresenta a demonstração correta dessa proposição.
	
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy ≠ 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y = 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e  y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x = 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y = 0, então xy ≠ 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto,   x = 0 ou y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	Por hipótese, temos x e y elementos de K e xy = 0. Suponhamos por absurdo que x ≠ 0 e y ≠ 0. No entanto, se x ≠ 0 e y ≠ 0, então xy = 0. Isso contradiz a hipótese. Portanto, x = 0 e y =  0.  Logo, K não tem divisores próprios de zero, o que implica que ele é um anel de integridade.
	
	
	
	 
		
	
		2.
		Marque a única afirmação correta.
	
	
	
	Todo anel de integridade é um corpo
	
	
	Todo anel de integridade finito e um corpo
	
	
	o anel Zn é um corpo para todo n
	
	
	Todo subanel é um corpo
	
	
	Todo anel comutativo é um corpo
		
	Gabarito
Comentado
	
	
	
	
	 
		
	
		3.
		No anel Z6  determine Idemp (Z6 ).
	
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1,3,4}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2,3}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {2,3,4}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1}
	
	
	Idemp (Z6 ) = {1,2}
	
	
	
	 
		
	
		4.
		Seja f: A → B um isomorfismos de anéis. Marque a alternativa correta.
	
	
	
	A é domínio ⇔ B não é domínio.
	
	
	A não tem divisores de zero  ⇔ B tem divisores de zero.
	
	
	A é comutativo ⇔ B não é comutativo.
	
	
	A tem unidade ⇔ B não tem unidade.
	
	
	A é corpo  ⇔   B é corpo.
	
	
	
	 
		
	
		5.
		
	
	
	
	e = 5
	
	
	e = 4
	
	
	e = 2
	
	
	e = 3
	
	
	e = 1
	
	
	
	 
		
	
		6.
		Marque a alternativa que indica a definição correta de corpo.
	
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
	
	
	Um Corpo é um anel que tem apenas  unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x = 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K não possuir inverso multiplicativo.
	
	
	Um Corpo é um anel comutativo com unidade que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento não nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	
	Um Corpo é um anel  comutativo que chamaremos de K. Este anel é denominado corpo se todo elemento nulo de K possuir inverso multiplicativo, ou seja, se ∀∀ x ∈∈K, x ≠ 0, então existe x-1 ∈∈K tal que x.x-1 = 1.
 
 
	
	
	
	 
		
	
		7.
		Seja um conjunto A não vazio, que admite duas operações internas, sendo a adição (+) e a multiplicação (.). Para que esse conjunto seja considerados corpo, é necessário admitir quais propriedades:
 
	
	
	
	Para a multiplicação (.):
Existência do elemento neutro, admite inverso multiplicativo e a comutatividade.
	
	
	Para a multiplicação (.):
Associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro, admite inverso multiplicativo e a comutatividade.
	
	
	Para a adição (+):
Associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro, admite inverso multiplicativo e a comutatividade.
	
	
	Para a adição (+):
Associativa, existência do elemento neutro e simétrico, comutatividade.
Para a multiplicação (.):
Associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro, admite inverso multiplicativo e a comutatividade.
	
	
	Para a adição (+): Associativa, existência do elemento neutro e simétrico, comutatividade.
	
Explicação:
Por definição:
Para a adição (+): Associativa, existência do elemento neutro e simétrico, comutatividade.
Para a multiplicação (.): Associativa, distributiva em relação a adição, existência do elemento neutro, admite inverso multiplicativo e a comutatividade.
	
	
	
	 
		
	
		8.
		No anel Z8, determine Nilp (Z8 ).
	
	
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4}
	
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2}
	
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4}
	
	
	Nilp (Z8 ) = {2,4, 6}
	
	
	Nilp (Z8 ) = {0,2,4, 6}