Lista 12 - Cálculo II

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Universidade do Estado do Rio de Janeiro.
Instituto de Matemática e Estat́ıstica.
Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral II.
Código: 01-00854
Professor: Ditter Adolfo Yataco Tasayco.
12◦ Lista de Exerćıcios
1) Mostre que as seguintes integrais impróprias convergem e determine seu valor.
(a)
∫ ∞
0
dx
4x2 + 1
. (b)
∫ 1
−1
dx
x2/3
. (c)
∫ 1
0
dx√
x
. (d)
∫ 1
0
dx√
1− x2
.
2) Determine se cada integral é convergente ou divergente. Calcule aquelas que são
convergentes.
(a)
∫ π/2
0
cos−2 x dx.
(c)
∫ 1
0
dx
(2− x)
√
1− x
.
(e)
∫ π/2
0
senx · cos−1/2 x dx.
(g)
∫ 1
−1
(x− 1)
3
√
x5
dx.
(b)
∫ ∞
0
x
(a2 + x2)4
dx.
(d)
∫ 5
0
x
(25− x2)3/2
dx.
(f)
∫ 3√2
0
2x
(x2 − 2)2/3
dx.
(h)
∫ 27
−1
x−2/3(x2/3 + x)1/2 dx.
3) Encontre o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas
dadas em torno das retas especificadas
(a) y = 2− x
2
, y = 0, x = 1, x = 2; em torno do eixo x.
(b) y =
√
25− x2, y = 0, x = 2, x = 4; em torno do eixo x.
(c) y = lnx, y = 1, y = 2, x = 0; em torno do eixo y.
(d) y = senx, y = cosx, 0 ≤ x ≤ π/4; em torno de y = −1.
4) Use os métodos das cascas ciĺındricas para achar o volume gerado pela rotação da
região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
(a) y = x4, y = 0, x = 1; em torno de x = 2.
(b) y =
√
x, y = 0, x = 1; em torno de x = −1.
(c) y = x3, y = 0, x = 1; em torno de y = 1.
(d) y = x2 + 1, x = 2; em torno de y = −2.
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