calculo2_cap02_resol

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Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-1 
2 Integrais Impróprias 
1. Calcular 


0 21 x
dx
. 
 
Resolução: 


0 21 x
dx
 


b
cb x
dx
21
lim
  b
b
x
0
arctanlim

 
 0arctanarctanlim 

b
b
 
0
2


 
2

 
Resposta: 
2

 
2. Calcular 


  21 x
dx
. 
 
Resolução: 


  21 x
dx
 
  
0
21 x
dx



0 21 x
dx
  
1I

2I
 
1I

  
0
21 x
dx

 
0
21
lim
x
dx
 0
arctanlim

x

 

arctan0arctanlim






 

2
0
 
1I

2

 
2I



0 21 x
dx
 
2

, do exemplo 1 


  21 x
dx
  
1I

2I
 
2


2

 

 
Resposta: 

 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-2 
3. Calcule a integral e o limite dos itens seguintes: 
a) 



dxx
 e b) 

r
rr
dxxlim
 
a) 
Resolução: 
Primeiramente vamos calcular a integral 



dxx
. 
Conforme foi definido, 



dxx
=
 
0
dxx



0
dxx
=

0
lim dxx
+


 0
lim dxx
= 02
2
lim







 x +








0
2
2
lim
x =





 

 22
0
lim
22 +








 2
0
2
lim
22 =





 

 2
lim
2 +






 2
lim
2 
Como nenhum destes limites existe, então a referida integral 



dxx
 diverge. 
Resposta: diverge 
 
 
b) 
Resolução: 

r
rr
dxxlim
= r
r
r
x








2
lim
2 =







 22
lim
22 rr
r
=
0lim
r
=0 (converge). 
Resposta: 0 
Desta forma, este exemplo ilustra o porquê de não podemos utilizar o limite em (b) para 
definir a integral imprópria em (a). 
4. Discutir os valores de  para os quais a integral 


1 x
dx
 converge ou diverge. 
Resolução: 
Para   1: 

b
x
dx
1 
  b
x
1
1
1
1 



 
 1
1
1 1 

b
. 
Tem-se, então: 


1 x
dx
 
 1
1
1
lim 1 



b
b
 
Assim: 
Se   1  


1 x
dx
 
 1
1
1
lim 1 



b
b
 
1
1

 (CONVERGE). 
Se   1  


1 x
dx
 
 1
1
1
lim 1 



b
b
   (DIVERGE). 
Se 1  


1 x
dx
 
 
b
b x
dx
1
lim
  b
b
x
1
lnlim

 
 1lnlnlim 

b
b
  0   (DIVERGE). 
Resposta: 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-3 
5. Verifique os resultados das seguintes integrais do exemplo citado no começo deste 
capítulo, onde se propõe que um muro de área infinita seja pintado com o conteúdo de 
uma lata de tinta de volume finito, isto é: 


1 x
dx
=

 e que 
 

1 2x
dx
. 
Resolução: 
?

1 x
dx
 Esta integral é um caso particular do exemplo anterior, onde 
1
, logo a 
integral imprópria diverge, assim, 


1 x
dx
=. 
?

1 2x
dx

 Novamente temos um caso particular do exemplo anterior, onde 
2
, 
assim, 


1 2x
dx
  

1 2x
dx

12
1

= 1  . 
Resposta:  e , respectivamente. 
6. Estudar a convergência da integral 


1 2 1 )( xex
dx
. 
Resolução: 
Para 
x
 1  
)(
xex 1
1
2
  
2
1
x
. 
A integral 


1 2x
dx
  b
b x
1
1
lim 







  0  (1)  1 converge. 
Tem-se então que 


1 2 1 )( xex
dx
 também CONVERGE. 
Resposta: CONVERGE 
7. Estudar a convergência da integral 

 
1 3
1
dx
x
x )(
. 
Resolução: 
Verifica-se que 
3
1
x
x 
  
3x
x
  
x
1
 
A integral 


1 x
dx
  b
b
x
1
2lim


 22lim 

b
b
   diverge. 
Tem-se então que 

 
1 3
1
dx
x
x )(
 também DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-4 
8. Estudar a convergência da integral 


1 3
sin
dx
x
x
. 
Resolução: 
A função a ser integrada é de sinal variável. Então 
3
sin
x
x

3
1
x
, pois 
1sin x
. 
Para 
1x
  
3
1
x
 
3
1
x
. 
A integral 


1 3x
dx
  b
b x 1
22
1
lim 







  0 







2
1
  
2
1
 converge. 
Temos que 


1 3
sin
dx
x
x
 também converge. 
Logo, 


1 3
sin
dx
x
x
 CONVERGE. 
Resposta: CONVERGE 
9. Calcular 

2
0 3x
dx
. 
 
Resolução: 

2
0 3x
dx
 

2
3
0
lim
aa x
dx
  2
2
0
1
lim
2
1
a
a x








 







 aa
1
4
1
lim
2
1
0
 







4
1
2
1
 

8
1
   
A integral DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-5 
10. 


1
0 21 x
xdx
. 
 
Resolução: 
Seja 


1
0 21 x
xdx
 
I
 
u
1 2x  x 0  u 1; x 1  u 0 
 
du

xdx2
  
xdx

2
du

 
A função é descontínua para 
x
1 ou 
u
0 
I



b
b x
xdx
0 21 1
lim
 
 








b
b
du
u
10 2
lim 2
1
 
b
b
u
1
2
10
2
1
2
1
lim










  
0
(
1
)  1 
Resposta: 1 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-6 
11. Calcular 


2
0 21)(x
dx
. 
 
Resolução: 
Seja 


2
0 21)(x
dx
 
I
 
I



 
1
0 20 )1(
lim
x
dx

  
2
1 20 )1(
lim
x
dx
 
Lembrando que 

 21)(x
dx
 

 dxx 21)(
 
c
x


 
1
1 1)( 
c
x



1
1
 
I
 









1
0
0 1
1
lim
x
 2
1
0 1
1
lim










x
 
I











 1
11
lim
0










1
1
1
lim
0
 
I
   1  1     (DIVERGE). 
Resposta: DIVERGE 
 
12. 

 
0
dxe x
. 
Resolução: 
Seja 

 
0
dxe x
 
I
 
I




b x
b
dxe
0
lim
 
 
b
x
b
e
0
lim 


  b
xb e 0
1
lim 







  

1








1
1
  1 
Resposta: 1 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-7 
13. 


0 22 xa
dx
. 
Resolução: 
Seja 


0 22 xa
dx
 
I
 
x

ua tan
  
a
x
u tan
  
utan
  
u

2

 
dx

udua 2sec
 
utan
0  
u
0 
I




2
0 222
2
tan
sec
uaa
udua
 




2
2
0
sec
2
2
2 )tan1(
sec
du
u
u
a
a
u

 

2
0
1 
du
a
  2
0
1

u
a

 
0
1
2
1



aa
 
a2

 
Resposta: 
a2

 
14. 


0
sin xdxx
. 
Resolução: 
Seja 


0
sin xdxx
 
I
 Integração por partes: 
  vduuvudv
 
u

x
  
du

dx
 
dv

xdxsin
  
v

xcos
 
I



0
udv
 


b
b
udv
0
lim
 





  

bb
b
vduuv
00
lim
 





  

bb
b
dxxxx
00
)cos()cos(lim
 

 bb
b
xxx
00
sincoslim 

 
 bb
b
coslim 














0
0cos0lim
b

 b
b
sinlim











0
0sinlim
b
 
I

 

1,1
cos



 

1,1
sin


. A integral DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
15. 


1 x
dx
. 
Resolução: 


1 x
dx
 


b
b x
dx
1
lim
  b
b
x
1
2lim

  2  21  . A integral DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-8 
16. 


  222 xx
dx
. 
Resolução: 
Seja 


  222 xx
dx
 
I
 
 
112
2
1
2 


x
xx
 
  11 2 x
 
I



  1)1( 2x
dx
 
  

1arctan x
 
x
  1  0  
x
  1 
I



 
1
2 1)1(
lim
x
dx
b

 
b
b x
dx
1 2 1)1(
lim
 
I

  11arctanlim 

x
b

  b
b
x
1
1arctanlim


 
I


0
0arctan



2
)arctan(





2
)arctan(





0
0arctan

 





 

2

2

   
Resposta:  
17. 

1
0 3 x
dx
. 
Resolução: 

1
0 3 x
dx
 


1
0 3
1
lim
aa x
dx
 



1
0
3
1
lim
aa
dxx
  1
2
3
0
3
2
lim
aa
x

 




 
3 23 2 01
2
3
 
2
3
 
Resposta: 
2
3
 
18. 

1
1 4x
dx
. 
Resolução: 
Seja 

1
1 4x
dx
 
I
 
I

 
1
1
1 40
lim
a
a x
dx


1
4
0 22
lim
aa x
dx
 
I







 
1
1 1
3
0
1
lim
3
1
a
a x






1
3
0
2
2
1
lim
a
a x
 














 33
1
0 )1(
11
lim
3
1
1 aa














 3
23
0
1
1
1
lim
2 aa
 
I
 
3
1
(  1  1  )   A integral DIVERGE. 
Resposta: DIVERGE 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-9 
19. 
 
 
0
sin dxbxe ax
. 
Resolução: 
Seja 
 
 
0
sin dxbxe ax
 
I
 Integração por partes: 
  vduuvudv
 
I

 
  
1
0
sinlim
I
c ax
c
dxbxe


 
1I

 
c ax dxbxe
0
sin
 
 
u
 axe  du  dxae ax 
 
dv

 dxbxsin
  
v

 bx
b
cos
1

 
1I


c
udv
0
 
c
uv
0


c
vdu
0
 
 
c
ax bx
b
e
0
cos
1








    






c ax dxaebx
b0
cos
1
 
1I
  
c
ax
b
bxe
0
cos


 
  
2
0
cos
I
c ax dxbxe
b
a


 
 
2I

 
c ax dxbxe
0
cos
 
 
2u
 axe 
2du

dxae ax
 
 
2dv

 dxbxcos
  
2v

 bx
b
sin
1
 
2I


c
dvu
0
22
 
c
vu
022


c
duv
0
22
 
 
c
ax bx
b
e
0
sin
1







    




c ax dxaebx
b0
sin
1
 
2I
  
c
ax
b
bxe
0
sin 
 
c ax dxbxe
b
a
0
sin
 
 Voltando ao 
1I
... 
1I
  
c
ax
b
bxe
0
cos


2I
b
a

 
1I
  
c
ax
b
bxe
0
cos



b
a    








 


c ax
c
ax
dxbxe
b
a
b
bxe
0
0
sin
sin 
 Mas, 
1I

 
c ax dxbxe
0
sin
 
Logo... 
 
c ax dxbxe
0
sin
   
c
ax
b
bxe
0
cos

  
c
ax
b
bxae
0
2
sin 
 
  



c ax dxbxe
b
a
02
2
sin
 









2
2
1
b
a 
 
c ax dxbxe
0
sin
   
c
ax
b
bxe
0
cos

  
c
ax
b
bxae
0
2
sin 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-10 
 
c ax dxbxe
0
sin
 
22
2
ba
b

  






c
ax
b
bxe
0
cos   



 cax
b
bxae
0
2
sin 
 Voltando novamente ao 
1I
... 
1I

 
c ax dxbxe
0
sin
 
22
2
ba
b

  






c
ax
b
bxe
0
cos   



 cax
b
bxae
0
2
sin 
1I
  
c
ax
ba
bxbe
0
22
cos


   
c
ax
ba
bxae
0
22
sin

 
1I
  
22
cos
ba
bcbe ac


 

 
22
11
0 0cos
ba
beb a





  
22
sin
ba
bcae ac

   
  

0
22
0
0 0sin





ba
bae a 
1I
  
22
cos
ba
bcbe ac


 
22 ba
b

  
22
sin
ba
bcae ac

 
Voltando ao 
I
... 
I

 1lim I
c 
   







 22
cos
lim
ba
bcbe ac
c

22 ba
b

  






22
sin
ba
bcae ac
 
I
  
  

0
22
0
cos






ba
bbe a 
22 ba
b

  
  

0
22
0
sin





ba
bae a 
22 ba
b

 
Portanto, 
 
 
0
sin dxbxe ax
 
22 ba
b

. 
Resposta: 
22 ba
b

 
20. Calcular 

 
0
dxe x
 
Resolução: 

 
0
dxe x




b x
b
dxe
0
lim
  b
x
b
e
0
)(lim 


 
 0lim 

 ee b
b
  0  1  1. 
Resposta: 1 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-11 
21. Calcular 

 
0
dxxe x
 
Resolução: 
Seja 

 
0
dxxe x
 
I
. Integração por partes: 
  vduuvudv
. 
u

x
  
du

dx
. 
dv

xe dx
  
v
 
xe
. 
I



0
udv
 


b
b
udv
0
lim
 





  

bb
b
vduuv
00
lim
 






 


b x
b
x
b
dxeex
00
)()(lim
. 
I
 






 

b
x
b
x
b
eex
00
lim
 
 bx
b
ex 0)1(lim



 
 0)10()1(lim 

 eeb b
b
 
I
 
 









1)1(lim
0
b
b
eb
 (1)  1. 
Resposta: 1 
 
22. Calcular 



1
2x
dx
 
Resolução: 
Seja 



1
2x
dx
 
I
. 
I






1 2lim dxx

  11lim 



 x
 










0
11)1(lim
 [10]  (1)  1. 
Resposta: 1 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-12 
23. Calcular 


  2
4
1 x
dx
 
Resolução: 


  2
4
1 x
dx
 
  
0
2
4
1 x
dx



0 2
4
1 x
dx
  
1I

2I
 
Obs: 

 2
4
1 x
dx

   22
2
1 x
dx

2
1
1








2
1
arctan
x
 c  2
)2arctan( x
 c 
1I

  
0
2
4
1 x
dx

 
0
2
4
1
lim
x
dx
2 0
)2arctan(lim

x
 
1I

 )2arctan(0arctanlim2 

2











 

2
0
  . 
2I



0 2
4
1 x
dx



b
b x
dx
0 2
4
1
lim
 2 b
b
x
0
)2arctan(lim

 
2I
2
 0arctan)2arctan(lim 

b
b
 2








0
2
  . 
Logo: 


  2
4
1 x
dx
 
1I

2I
      2. 
Resposta: 2 
24. Calcular 


2
0 sin
cos
dx
x
x
 
Resolução: 
 u  
xsin
  du  
xcos
dx 
 

x
x
sin
cos
dx  

u
du









duu 2
1  2 21u  c 
 

x
x
sin
cos
dx  2
xsin
 c 


2
0 sin
cos
dx
x
x

0
lim
 


2
sin
cos
dx
x
x
2
0
lim

2
sin


x
2
0
lim
















0
1
2
sinsin
 2 
Resposta: 2 
 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-13 
25. Calcular 


2
0 24 x
dx
 
Resolução: 
 

 24 x
dx


 222 x
dx







2
arcsin
x
 c 


2
0 24 x
dx

2
lim
b 

b
x
dx
0 24

2
lim
b
b
x
0
2
arcsin 




 
2
lim
b
















0
0arcsin
2
arcsin
b

)1arcsin(

2

 
Resposta: 
2

 
26. Calcular 
 
2
0 2x
dx
 
Resolução: 
 
  2x
dx

2ln x
  c 
 
2
0 2x
dx

2
lim
b  
b
x
dx
0 2

2
lim
b
  bx
0
2ln 

2
lim
b 









20ln2ln

b
  
Resposta: DIVERGE 
27. Calcular 

1
1 4x
dx
 
Resolução: 
Seja 

1
1 4x
dx
I 
 4x
dx


 dxx 4
 
3
3x
 c 
I 
 0
lim 

1 4x
dx

0
lim
b

1
4b x
dx
  
3
1



 0
lim

1
3
1







x

0
lim
b
1
3
1
bx









 
I  
3
1



 0
lim 







 33 )1(
11

0
lim
b







33
1
1
1
b



 
 0
lim 





3
1
  
I  
3
1



 0
lim 





3
1
11
0
lim
b







3
1
b



 
0
lim
b







3
1
b
  
I  
3
1
[ 11 ]  . 
 
Resposta: DIVERGE 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-14 
28. Calcular 


  942 xx
dx
 
Resolução: 
Seja 


  942 xx
dx
 
I
 x
2
  4x  9 
 

2
2
2 44


x
xx
5 
 22x

2)5(
. 
 

 22 )5()2(x
dx

5
1 arctan





 
5
2x
 c 
I  
5
1




lim 


2
2 94 xx
dx

b
lim  
b
xx
dx
2 2 94



 
I  
5
1




lim
arctan
2
5
2






 

x 
b
lim
arctan
b
x
2
5
2






 



 
I  
5
1
[
arctan
0  
arctan
() 
arctan
()  
arctan
0]  
5
1
[0  
2

  
2

  0]  
5

 
Resposta: 
5

 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-15 
29. Determine k para que se tenha 



dxe
xk

2
1
. 
 
y
x
Gráfico da função
1 para <0k


dxe
xk
 
 Obs: 



dxe
xk

2
1
  k  0 
Resolução: 
I 



dxe
xk
 
I 
 
0
dxe
xk



0
dxe
xk
 
I 
 
0 dxe kx



0
dxekx
 

 dxe kx
 
k
1 kxe
 c 
 
 dxe
kx
 
k
1 kxe
 c 
I 

lim 
0

dxe kx

b
lim 
b kxdxe
0
 
I 

lim 



k
1
kxe
0



 
b
lim 


k
1
kxe
b
0


 
I  
k
1

lim
(
0e

ke
)
k
1
b
lim
(
kbe

0e
) 
I  
k
1

lim
(1
ke
)
k
1
b
lim
(
kbe
1) 
I  
k
1
(1

lim
ke
)
k
1
(
b
lim
kbe
1) 

lim
ke
 0 
 
b
lim
kbe
 0 
I  
k
1
(10)
k
1
(01) 
I  
k
1

k
1
  
k
2
 
Mas temos que I  
2
1
. Logo, 
k
2
  
2
1
 k  4. 
Resposta: 
4k
 
 Cálculo II – (Lauro / Nunes) 2-16 
30. Utilize o teste da comparação para concluir se as integrais seguintes convergem ou 
divergem: 
a) 
dx
x
x


1 2
2sin 
Resolução: 
Como 
22
2 1sin
0
xx
x

em
[,[ 1
 e 
dx
x


1 21
 converge, então 
dx
x
x


1 2
2sin
 também 
converge. 
Resposta: CONVERGE 
b) 
dx
x



1 2 10
1
,
 
Resolução: 
Como 
xx
1
10
1
2

 ,
 em 
[,[ 1
 e 
dx
x

1
1
 diverge, então 
dx
x



1 2 10
1
,
 também 
diverge. 
Resposta: DIVERGE