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SINAIS E SISTEMAS 
AULA 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Charles Way Hun Fung 
 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Nesta aula iremos estudar como caracterizar uma resposta em 
frequência de um sistema a partir de magnitude e fase. Iremos compreender a 
influência desses dois elementos na resposta do sistema, quais distorções 
podem gerar e como podemos analisar essas respostas graficamente. Além 
disto, estudaremos como desenvolver um sistema de primeira ordem a partir de 
equações diferenciais e entenderemos sobre o funcionamento de filtros ideais. 
TEMA 1 – REPRESENTAÇÃO DA TRANSFORMADA DE FOURIER EM 
MAGNITUDE E FASE 
Podemos representar a transformada de Fourier em relação aos seus 
componentes reais e imaginários. Em outras palavras, podemos representar 
em termos de magnitude e fase (Oppenheim; Wiillsky; Nawab, 2010). 
Para um sinal em tempo contínuo: 
𝑋(𝑗𝜔) = |𝑋(𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢𝑋(𝑗𝜔) (1) 
Para um sinal em tempo discreto: 
𝑋(𝑒𝑗𝜔) = |𝑋(𝑒𝑗𝜔|𝑒𝑗∢𝑋(𝑒
𝑗𝜔) (2) 
Vamos focar em transformadas de tempo contínuo, pois o que é válido 
para esta também poderá ser usado em tempo discreto. 
Pela equação de síntese da transformada de Fourier de tempo contínuo, 
|X(jω)| é um somatório de exponenciais complexas, de forma que componham 
o sinal x(t) através de uma combinação linear. Podemos até dizer que cada 
uma dessas exponenciais representa uma faixa de frequência diferente. A 
partir deste ponto, podemos discutir o que é |X(jω)|2. Quando estudamos o 
complexo conjugado, chamamos isso de espectro de densidade de energia de 
x(t). Ou, em outras palavras, é a distribuição da energia do sinal em função da 
frequência. 
O que seria a magnitude |X(jω)| do sinal? Ela descreve o conteúdo 
básico do sinal, ou apresenta a informação sobre as magnitudes relativas das 
exponenciais complexas que compõem x(t) (Oppenheim; Wiillsky; Nawab, 
2010), o que é representado pela Figura 1. 
 
 
 
3 
Figura 1 – Banda de energia 
 
Fonte: Zibetti (2010). 
 Além disso, a magnitude mostra a banda operacional de um sistema, 
como por exemplo um filtro passa-baixa como mostrado na Figura 2: 
Figura 2 – Banda operacional de um sistema 
 
Fonte: Zibetti (2012). 
Um sinal com magnitude |X(jω)|=0 pode indicar que há um oscilação na 
magnitude nas bandas de frequência do sinal. 
A fase ou o ângulo de fase ∢𝑋(𝑗𝜔) não afeta a magnitude do sinal x(t), 
entretanto fornece informações sobre a fase relativa de cada uma das 
exponenciais complexas que compõem o sinal. Isso pode causar um efeito 
significativo no sinal, de forma que sinais com uma mesma função de 
magnitude sejam completamente diferentes. 
Para ilustrar o efeito da fase em um sinal, vamos supor um sinal: 
𝑥(𝑡) = 1 +
1
2
cos(2𝜋𝑡 + 𝜑1) + cos(4𝜋𝑡 + 𝜑2) +
2
3
cos(6𝜋𝑡 + 𝜑3) (3) 
Este sinal é ilustrado na Figura 3, em que é mostrado este sinal para 
diversos valores de φ1, φ2, φ3. 
 
 
4 
Figura 3 – Sinal da equação 3, (a) φ1=φ2=φ3; (b) φ1=4rad, φ2=8rad, φ3=12 
rad;(c) φ1=6 rad, φ2=-2,7 rad, φ3=0,93 rad;(d) φ1=1,2 rad, φ2=4,1 rad, φ3=-
7,02rad; 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
De forma geral, a função de fase faz uma mudança nas características 
de domínio do tempo do sinal x(t), porém, dependendo do sinal, pode ser 
relevante ou não essa mudança. Exemplo: um sistema auditivo possui uma 
insensibilidade relativa, pois a transformada de Fourier do sinal pode ter sofrido 
uma distorção na fase, mas não ter afetado a magnitude. Para esse sistema, o 
efeito de mudança foi imperceptível. Para ilustrar esse exemplo, imagine um 
sinal x(t) que seja uma gravação e x(-t) representa a fita sendo reproduzida ao 
contrário. Se aplicarmos a transformada de Fourier no segundo caso e x(t) for 
real, teremos que: 
ℱ{𝑥(−𝑡)} = 𝑋(−𝑗𝜔) = |𝑋(𝑗𝜔)|𝑒−𝑗∢𝑋(𝑗𝜔) (4) 
Portanto, o espectro da representação contrária da fita possui a mesma 
função de magnitude, porém a fase diferente. 
Vamos supor agora um segundo exemplo, em que o sinal é uma 
imagem que representaremos por x(t1,t2). Essa imagem está em níveis de 
cinza, ou seja, cada valor de seus pixels podem variar de 0 a 255. Na 
 
 
5 
representação da imagem x(t1,t2), t1 representa a coordenada horizontal de um 
ponto/pixel da imagem. t2 representa uma coordenada vertical. A transformada 
de Fourier dessa imagem é representada por X(jω1,jω2), que é decomposta em 
componentes 𝑒𝑗𝜔1𝑡1𝑒𝑗𝜔2𝑡2 que capturam as variações de cada um dos pixels 
x(t1,t2) em diferentes frequências e em cada direção de coordenada. 
Para exemplificar isto, aplicamos a transformada de Fourier na Figura 4: 
Figura 4 – Imagem exemplo 
 
Fonte: Zibetti (2012). 
Em imagens as informações mais relevantes podem ser encontradas em 
regiões de bordas e contraste. São as regiões de intensidades máximas e 
mínimas. Nessas regiões, as exponenciais complexas de diferentes 
frequências podem estar em fase. Por isso faz sentido pensar que a fase deve 
conter a maior parte das informações da imagem. O resultado é mostrado na 
Figura 5: 
Figura 5 – Magnitude e fase da transformada 
 
Fonte: Zibeti (2012). 
Podemos perceber que o brilho de um determinado pixel (ω1, ω2) é 
proporcional à magnitude da transformada X(jω1,jω2). Para tornar o conceito 
 
 
6 
mais claro, vamos fazer a mesma transformada inversa, mas, para um primeiro 
caso, com a fase zero, |X(jω1, jω2)|ej∢0 e depois outro caso com a magnitude 
unitária, 1. 𝑒𝑗∢X(jω1,jω2). A seguir são apresentadas as imagens resultantes da 
transformada inversa: 
Figura 6 – Somente a magnitude com fase zero 
 
Fonte: Zibetti (2012). 
Figura 7 – Magnitude unitária e a fase 
 
Fonte: Zibetti (2012) 
Podemos perceber neste caso, comparando a Figura 7 com Figura 4, 
que a fase contém a maior parte da informação da imagem. 
TEMA 2 – REPRESENTAÇÃO MAGNITUDE-FASE DA RESPOSTA EM 
FREQUÊNCIA DOS SISTEMAS LIT 
Foi visto anteriormente que a convolução no tempo, se transforma em 
uma multiplicação quando realizada a transformada de Fourier. Então, para um 
sinal X(jω), teremos uma saída Y(jω) relacionada pela seguinte equação: 
𝑌(𝑗𝜔) = 𝐻(𝑗𝜔)𝑋(𝑗𝜔) (5) 
 
 
7 
De forma semelhante, em tempo discreto temos um sinal X(ejω) 
produzindo uma saída Y(ejω), a partir da equação: 
𝑌(𝑒𝑗𝜔) = 𝐻(𝑒𝑗𝜔)𝑋(𝑒𝑗𝜔) (6) 
Vamos agora analisar estas relações com base em magnitude e fase, 
então: 
|𝑌(𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢𝑌(𝑗𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢𝐻(𝑗𝜔)|𝑋(𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢𝑋(𝑗𝜔) 
|𝑌(𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢𝑌(𝑗𝜔) = |𝐻(𝑗𝜔)||𝑋(𝑗𝜔)|𝑒𝑗∢𝑋(𝑗𝜔)+∢𝐻(𝑗𝜔) (7) 
A partir da equação 7 concluímos que: 
|𝑌(𝑗𝜔)| = |𝐻(𝑗𝜔)||𝑋(𝑗𝜔)| (8) 
∢𝑌(𝑗𝜔) = ∢𝐻(𝑗𝜔) + ∢𝑋(𝑗𝜔) (9) 
Analisando a equação 8, entendemos que a magnitude da saída de um 
sistema LIT é ponderada pela resposta em frequência do sistema. Devido a 
isso, H(jω) ou H(ejω) também são chamados de ganho do sistema. Além disso, 
pela equação 9, o sistema adiciona a fase ao sistema, o que é chamado de 
deslocamento de fase do sistema. Esse deslocamento pode mudar as relações 
de fase dos componentes de entrada do sistema, podendo causar mudanças 
significativas nas características no domínio do tempo do sinal, mesmo se o 
ganho for o mesmo para todas as faixas de frequência. 
2.1 Fase linear e não linear 
Se o deslocamento de fase for uma função linear de ω, podemos 
considerar um sistema LIT cuja resposta em frequência é dada por: 
𝐻(𝑗𝜔) = 𝑒−𝑗𝜔𝑡0 (10) 
Com ganho unitário e fase linear, teremos: 
|𝐻(𝑗𝜔)| = 1 
∢𝐻(𝑗𝜔) = −𝜔𝑡0 
Ou seja, o sistema LIT produzirá uma saída: 
𝑌(𝑗𝜔) = 𝑒−𝑗𝜔𝑡0𝑋(𝑗𝜔) (11) 
Esta saída Y(jω), fazendo a transformada inversa, produz uma saída que 
é simplesmente um deslocamento no tempo: 
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝑡0) (12) 
No caso discreto, ocorre um fenômeno semelhante: 
|𝐻(𝑒−𝑗𝜔𝑛0)| = 1 
∢𝐻(𝑗𝜔) = −𝜔𝑛0 
Produzindo uma saída da transformada inversa do sistema LIT: 
𝑦[𝑛] = 𝑥[𝑛 − 𝑛0] (13) 
A Figura 8 ilustra o deslocamento ocorrido:8 
Figura 8 – (a) Sinal de tempo contínuo; (b) Resposta de fase linear 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
Caso o deslocamento de fase não seja linear, poderá ainda ocorrer um 
deslocamento, porém a mudança de fase pode causar uma distorção, de forma 
que a resposta ao domínio do tempo se torne completamente diferente da 
entrada. Isto é ilustrado na Figura 9, em que 9(a) é a saída de um sistema que 
tem a entrada como o sinal apresentado em 8(a), ganho unitário e função não-
linear. Na Figura 9(b) é a mesma saída que 9(a), porém também sofreu um 
deslocamento no tempo. 
Figura 9 – (a) Resposta não linear; (b) Resposta não linear com deslocamento 
no tempo 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
2.2 Atraso de grupo 
Quando um sinal é a entrada de um sistema LIT, a saída deste possuirá 
um deslocamento no tempo que é proporcional à inclinação da fase. Isso indica 
que se a fase de H(jω) for -ωt0, então será produzido um deslocamento -t0. De 
 
 
9 
forma similar, podemos fazer o modelo ser aplicado a sistemas de tempo 
discreto, o qual produz um atraso n0. 
Para representar um atraso no qual a fase é não linear, podemos 
considerar um sinal x(t), cuja transformada de Fourier seja zero ou um valor 
muito pequeno e a faixa de frequências deve ser pequena e centrada em 
ω=ω0. Como esta faixa de valores é muito pequena, podemos aproximar com a 
precisão a fase do sistema, nesta faixa com uma aproximação linear 
(Oppenheim; Wiillsky; Nawab, 2010). 
∢𝐻(𝑗𝜔) = −𝜑 − 𝜔𝛼 (14) 
Isso resultaria em uma resposta em frequência: 
𝑌(𝑗𝜔) = 𝑋(𝑗𝜔)|𝐻(𝑗𝜔)|𝑒−𝑗𝜑𝑒−𝑗𝜔𝛼 (15) 
Separando os efeitos de magnitude e fase, temos que a magnitude 
correspondente |H(jω)| multiplicado por um fator e-jφ e a fase corresponde à 
fase linear e-jωα, que corresponde a um atraso de α segundos. Esse atraso é 
chamado de atraso de grupo em ω=ω0. É um atraso sofrido por uma pequena 
faixa de frequências centradas em ω=ω0. 
Segundo Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010), o atraso de grupo é 
definido como negativo da inclinação da fase nessa frequência: 
𝜏(𝜔) = −
𝑑
𝑑𝜔
{∢𝐻(𝑗𝜔)} (16) 
Este conceito se aplica também a tempo discreto. 
2.3 Gráficos do logaritmo da magnitude e diagrama de Bode 
Para representarmos graficamente a magnitude e fase, que são 
apresentadas pelas equações 8 e 9: 
|𝑌(𝑗𝜔)| = |𝐻(𝑗𝜔)||𝑋(𝑗𝜔)| (8) 
∢𝑌(𝑗𝜔) = ∢𝐻(𝑗𝜔) + ∢𝑋(𝑗𝜔) (9) 
O uso de escalas logarítmicas é conveniente devido à relação entre 
magnitudes apresentada na equação 8. Usando o logaritmo, a relação de 
produto entre as magnitudes se torna uma relação aditiva. 
Então, aplicando o logaritmo na equação 8, teremos: 
𝑙𝑜𝑔|𝑌(𝑗𝜔)| = 𝑙𝑜𝑔|𝐻(𝑗𝜔)| + 𝑙𝑜𝑔|𝑋(𝑗𝜔)| (17) 
Com um gráfico da entrada do sistema em logaritmo, log|X(jω)|, e o 
gráfico da resposta em frequência do sistema LIT em logaritmo log|H(jω)| 
temos que a saída do sistema log|Y(jω)|. 
 
 
10 
O uso do logaritmo permite que os detalhes da magnitude da 
transformada de Fourier sejam exibidos em intervalos dinâmicos mais amplo 
(Oppenheim; Wiillsky; Nawab, 2010). 
De forma geral, o logaritmo utilizado possui uma escala de 20log, a qual 
é conhecida como decibéis ou dB. Quando o valor for de 0 dB, isso equivale a 
uma resposta de magnitude 1 da resposta em frequência. 20 dB equivale a um 
ganho de 10 e -20 dB a uma rejeição de 0,1. Uma observação sobre isso é que 
6 dB equivale a um ganho de 2. 
Para tempo contínuo, é comum o uso do logaritmo para representar 
magnitude e fase. Para magnitude é usado um gráfico 20log x log(ω) e para 
fase x log(ω). Estes gráficos são conhecidos como diagrama de Bode. Como 
ilustrado a seguir: 
Figura 10 – Diagrama de bode de magnitude 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
Figura 11 – Diagrama de bode de fase 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
 
 
11 
TEMA 3 – SISTEMAS CONTÍNUOS DE PRIMEIRA ORDEM 
As equações diferenciais são usadas para descrever o comportamento 
de sistemas, a equação a seguir descreve uma forma genérica das equações 
diferenciais: 
𝑏0𝑥(𝑡) + 𝑏1
𝑑𝑥(𝑡)
𝑑𝑡
+ ⋯ + 𝑏𝑛
𝑑𝑁𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑁
= 𝑎0𝑦(𝑡) + 𝑎1
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ ⋯ + 𝑎𝑀
𝑑𝑀𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑀
 (18) 
 A equação 18 apresenta a representação de um sinal de entrada x(t) 
resultando em um sinal de saída y(t). Cada termo da série de Fourier com seu 
respectivo coeficiente b ou a, é representado por uma diferencial de 
determinada ordem. 
 Podemos desenvolver a equação 18 da seguinte forma: 
∑ 𝑏𝑛
𝑑𝑛𝑥(𝑡)
𝑑𝑡𝑛
= ∑
𝑑𝑚𝑦(𝑡)
𝑑𝑡𝑚
𝑀
𝑚=0
 (19)
𝑁
𝑛=0
 
 Aplicando a transformada de Fourier, teremos: 
∑ 𝑏𝑛(𝑗𝜔)
𝑛𝑋(𝑗𝜔) = ∑ 𝑎𝑚(𝑗𝜔)
𝑚𝑌(𝑗𝜔)
𝑀
𝑚=0
 (20)
𝑁
𝑛=0
 
 Então, temos que H(jω) é uma relação entre X(jω) e Y(jω): 
𝐻(𝑗𝜔) =
𝑌(𝑗𝜔)
𝑋(𝑗𝜔)
= 
∑ 𝑏𝑛(𝑗𝜔)
𝑛𝑁
𝑛=0
∑ 𝑎𝑚(𝑗𝜔)
𝑚𝑀
𝑚=0
 (21) 
 A ordem do sistema é determinada pelos coeficientes N e M, de forma 
que o maior valor entre eles é considerado a ordem do sistema. 
 Iniciaremos nossos estudos com os sistemas mais simples, ou seja, os 
sistemas de primeira ordem, que podem ser definidos através da equação 
diferencial a seguir: 
𝜏
𝑑𝑦(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡) (22) 
 Aplicando a transforma de Fourier na equação 22, teremos: 
𝑋(𝑗𝜔) = 𝑗𝜔𝜏𝑌(𝑗𝜔) + 𝑌(𝑗𝜔) 
𝑋(𝑗𝜔) = (𝑗𝜔𝜏 + 1)𝑌(𝑗𝜔) 
𝑋(𝑗𝜔)
𝑌(𝑗𝜔)
=
1
𝑗𝜔𝜏 + 1
 
𝐻(𝑗𝜔) = 
1
𝑗𝜔𝜏 + 1
 (23) 
 Aplicando a transformada inversa de Fourier, teremos: 
𝐻(𝑗𝜔) = 
1/𝜏
𝑗𝜔 + 1/𝜏
 
ℎ(𝑡) =
1
𝜏
𝑒−
𝑡
𝜏𝑢(𝑡) (24) 
 A resposta ao impulso h(t) é representada na Figura 12: 
 
 
12 
Figura 12 – Resposta ao impulso de um sistema de primeira ordem de tempo 
contínuo 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
 A resposta ao degrau do sistema pode ser obtida resolvendo a equação: 
𝑠(𝑡) = ℎ(𝑡) ∗ 𝑢(𝑡) = [1 − 𝑒−
𝑡
𝜏] 𝑢(𝑡) (25) 
 Podemos ilustrá-la na Figura 13: 
Figura 13 – Resposta ao degrau de um sistema de primeira ordem de tempo 
contínuo. 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
Como pudemos observar nas Figuras 12 e 13, o coeficiente τ tem 
grande influência nas curvas de resposta do sistema de primeira ordem. Este 
coeficiente é chamado de constante de tempo do sistema, que controla a taxa 
que o sistema responde. Na Figura 12, podemos notar que quando t = τ o valor 
da curva é 1/e do valor quando t=0. E também na Figura 13, o valor da 
resposta ao degrau esta a 1/e do valor final. 
Sumarizando, quanto menor o valor de τ, mais brusca é a descida da 
resposta ao impulso e mais rápida é a subida da resposta ao degrau. 
Para compreendermos melhor a resposta em frequência do sistema de 
primeira ordem usaremos o diagrama de Bode. Porém para isto devemos 
colocar a equação 23 em termos logarítmicos. 
𝐻(𝑗𝜔) = 
1
𝑗𝜔𝜏 + 1
=
1 − 𝑗𝜔𝜏
(𝜔𝜏)2 + 1
 
 
 
13 
20 log10|𝐻(𝑗𝜔)| = −10 log10[(𝜔𝜏)
2 + 1] (26) 
Podemos ilustrar a equação 26, no diagrama de bode a seguir: 
Figura 14 – Diagrama de bode de magnitude do sistema de primeira ordem de 
tempo contínuo 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
A partir do gráfico da Figura 14 e a equação 26 podemos concluir 
algumas coisas: 
1. Quando ωτ<< 1, o logaritmo da magnitude tende a zero; 
2. Quando ωτ>> 1, 
20 log10|𝐻(𝑗𝜔)| = −20 log10(𝜔𝜏) = −20 log10(𝜔) − 20 log10(𝜏) 
 
Analisando estas duas afirmações podemos perceber que tanto 1 e 2 
indicam uma ocorrência no ponto 1/τ. Quando isto ocorre dizemos que há uma 
aproximação assintótica, pois no caso de baixa-frequência ou a afirmativa 1, 
indicaria que o gráfico deveria se aproximar do valor de 0 dB no ponto 1/τ. 
Entretanto, na análise da afirmativa 2, temos que o valor tende a uma 
queda de 20 dB por década. Este ponto em que ocorre isso é chamado de 
joelho ou slope. A frequência neste ponto é conhecidacomo frequência de 
quebra, e também o valor de (ωτ)2 e 1 são iguais. Neste caso, podemos 
deduzir que: 
20 log10 𝐻 (𝑗
1
𝜏
) = −10 log10(2) = −3𝑑𝐵 (27) 
Devido ao resultado obtido na equação 27, o ponto ω=1/τ é chamado 
também de ponto de 3dB. Na Figura 14, percebemos que há um erro no 
diagrama de bode perto deste ponto, que foi corrigido com uma curva 
tracejada. 
Da mesma forma que ocorreu na magnitude podemos fazer o diagrama 
de Bode da fase: 
 
 
14 
∢𝐻(𝑗𝜔) = −𝑡𝑎𝑛−1(𝜔𝜏) (28) 
 A equação 28 é ilustrada na Figura 15: 
Figura 15 – Diagrama de bode de fase do sistema de primeira ordem de tempo 
contínuo 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
A equação 28 implica três aproximações assintóticas: 
1. Quando ω ≤ 0,1/τ, o valor da fase é aproximadamente zero. 
2. Quando 0,1/τ ≤ ω ≤ 10/τ: ∢𝐻(𝑗𝜔) = − (
𝜋
4
) [log10(𝜔𝜏) + 1]. 
3. Quando ω ≥ 10/τ: ∢𝐻(𝑗𝜔) = −𝜋/2. 
Analisando as três afirmações e o diagrama apresentado na Figura 15, 
podemos verificar que a aproximação decresce linearmente entre 0 e -π/2 no 
decorrer da função de log(ω). 
 No que se diz a frequência de quebra, que é 1/τ, podemos considerar os 
pontos uma década antes e uma década depois. Podemos ver na Figura 15 
que uma década antes do ponto de quebra o valor assintótico correto é zero 
para a fase de H(jω), da mesma forma que para uma década depois o valor é -
π/2 para a fase de H(jω). Analisando graficamente o valor da fase no ponto de 
quebra, temos que: 
∢𝐻(𝑗𝜔) = −
𝜋
4
 (29) 
TEMA 4 – FILTROS IDEAIS SELETIVOS DE FREQUÊNCIA 
Filtros consistem em um sistema LIT com uma resposta em frequência 
escolhida, de forma a deixar passar uma determinada faixa de frequência e 
rejeitar todas as outras. Isso pode ser útil para aplicações, por exemplo, uma 
 
 
15 
gravação de áudio, na qual o ruído se encontra em uma faixa de frequência 
mais alta que o sinal gravado. 
Antes de estudarmos especificamente cada filtro, devemos entender o 
conjunto de características que descrevem o funcionamento de um filtro. A 
seguir serão apresentados conceitos que sempre devem ser levados em 
consideração em um projeto de filtro: 
 Frequências de corte: são as frequências que definem os limites entre 
as frequências de passagem e rejeição. 
 Banda de Passagem: São as frequências que passam pelo filtro sem 
atenuação ou rejeição. 
 Banda de Rejeição: São as frequências que são atenuadas ou 
rejeitadas pelo filtro. 
Estes conceitos são ilustrados na Figura 16: 
Figura 16 – Resposta em frequência de um filtro passa-baixa 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
Na Figura 16, a frequência de corte é representada por ωc. Podemos 
observar que a banda de passagem está contida no intervalo entre -ωc e ωc. 
Essa é uma característica que deve ser considerada do sinal, caso seja par. O 
sinal pode ser espelhado para o lado negativo e isso deve ser levado em 
consideração quando é realizada a especificação do filtro. 
Inicialmente estudaremos uma classe de filtros chamada filtros ideais, 
que são aqueles que possuem características de transmissão sem distorção ao 
longo da banda passante e resposta nula fora dessa banda (Higuti, 2003). 
 
 
 
16 
4.1 Filtro passa-baixa 
Estes filtros deixam passar todas as frequências iguais ou menores que 
a frequência de corte ωc e atenuam ou eliminam todas as outras frequências. 
Em outras palavras, a banda de passagem desse filtro contém todas as 
frequências menores que ωc, enquanto que a banda de rejeição contém todas 
as frequências maiores que ωc. A resposta em frequência do filtro passa-baixa 
de tempo contínuo é caracterizada pela equação: 
𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≤ 𝜔𝑐
0, |𝜔| > 𝜔𝑐
 (30) 
A Figura 17 ilustra o filtro passa-baixa de tempo contínuo: 
Figura 17 – Filtro passa-baixa 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
Os filtros ideais têm seletividade dita perfeita, ou seja, todas as 
frequências da banda passante são aceitas sem perdas. Além disso, estes 
filtros têm característica de fase nula, por isso não distorcem a fase. 
4.2 Filtro passa-altas 
Este filtro funciona de forma inversa ao filtro passa-baixa. A sua banda 
de rejeição se encontra em frequências menores que a frequência de corte. A 
banda de passagem apresenta frequências maiores ou iguais à frequência de 
corte. A equação a seguir descreve o comportamento de um filtro passa-altas 
de tempo contínuo. 
𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≥ 𝜔𝑐
0, |𝜔| < 𝜔𝑐
 (31) 
A Figura 18 ilustra o comportamento deste filtro: 
 
 
 
17 
Figura 18 – Filtro passa-altas 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
4.3 Filtro passa-faixa ou passa-banda 
Este filtro deixa passar todas as frequências em um intervalo limitado 
entre as duas frequências de corte, este intervalo entre as frequências de corte 
é chamado de largura de banda. A banda de rejeição são todas as frequências 
que não se encontram dentro desse intervalo. O comportamento desse filtro é 
descrito na equação a seguir: 
𝐻(𝑗𝜔) = {
1, 𝜔𝑐1 ≤ |𝜔| ≤ 𝜔𝑐2
0, |𝜔| < 𝜔𝑐1 𝑒 |𝜔| > 𝜔𝑐2
(32) 
A Figura 19 ilustra o comportamento deste filtro. 
Figura 19 – Filtro passa-faixa 
 
Fonte: Raginsky (2008). 
4.4 Filtro rejeita-faixa 
São filtros projetados para ter sua banda de rejeição em um determinado 
intervalo. Todas as outras frequências estão na banda de passagem. A 
equação a seguir descreve o comportamento deste filtro: 
𝐻(𝑗𝜔) = {
1, |𝜔| ≤ 𝜔𝑐1 𝑒 |𝜔| ≥ 𝜔𝑐2
0, 𝜔𝑐1 < |𝜔| < 𝜔𝑐2
(33) 
A Figura 20 ilustra o comportamento deste filtro. 
 
 
 
18 
Figura 20 – Filtro rejeita-faixa 
 
Fonte: Raginsky (2008). 
A análise que fizemos até agora é baseada na magnitude da resposta 
em frequência. Entretanto, além dessas características, devemos verificar a 
fase da resposta em frequência. Se mesmo um sistema que possua uma 
resposta em frequência como mostrada anteriormente nos filtros e possuir uma 
fase não linear, poderá produzir uma resposta não desejada. 
No caso da fase de um filtro ideal, vamos convencionar que: 
∠𝐻(𝑗𝜔) = {
−𝜔𝐾, 𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒
0, 𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖çã𝑜
 (34) 
Onde K>0 é uma constante. 
A resposta em frequência da fase dos filtros ideais é apresentada na 
Figura 21, a partir dela vamos entender o porquê destes filtros serem 
considerados ideais. 
Figura 21 – Resposta em frequência dos filtros ideais – fase 
 
Fonte: Raginsky (2008). 
 
 
19 
 
Para compreendermos melhor o funcionamento deste filtro, vamos 
aplicar na entrada de um destes filtros um sinal senoidal: 
𝑥(𝑡) = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0𝑡 + 𝜃0) (34) 
Sabe-se que a resposta em frequência do filtro é H(jω), logo isso irá 
gerar uma saída: 
𝑦(𝑡) = 𝐴|𝐻(𝑗𝜔0)| cos(𝜔0𝑡 + 𝜃 + ∠𝐻(𝑗𝜔0)) (35) 
É importante lembrar que H(jω) é igual a 1 na banda passante e zero na 
banda de rejeição. No caso da fase <H(jω) = -ωk em banda passante e zero na 
banda de rejeição. Com isso, podemos escrever: 
𝑦(𝑡) = {
𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔0(𝑡 − 𝐾) + 𝜃0), 𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎𝑛𝑡𝑒
0, 𝑠𝑒 𝑓𝑜𝑟 𝑏𝑎𝑛𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑟𝑒𝑗𝑒𝑖çã𝑜
 (36) 
A partir da equação 36, podemos concluir que se ω0 estiver na banda 
passante do filtro, irá produzir uma saída que é uma versão de x(t) deslocada 
no tempo: 
𝑦(𝑡) = 𝑥(𝑡 − 𝐾) (37) 
Isto indica o porquê de estes filtros serem considerados ideais, porque a 
resposta não distorce o sinal de entrada, apenas provoca um deslocamento no 
tempo. 
TEMA 5 – EXEMPLO 
Exemplo adaptado, disponível em Oppenheim, Wiillsky e Nawab (2010). 
Neste exemplo, iremos equacionar um filtro RC de primeira ordem 
mostrado na Figura 22: 
Figura 22 – Filtro RC de primeira ordem 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
Para iniciar a resolução deste problema, vamos fazer a equação da 
malha, relacionando as tensões dos componentes nesse circuito. 
 
 
20 
𝑅𝐶
𝑑𝑣𝑐(𝑡)
𝑑𝑡
+ 𝑣𝑐(𝑡) = 𝑣𝑠(𝑡) (38) 
Considerando o sistema como LIT,para determinar a resposta em 
frequência H(jω), por definição, a tensão de entrada é 𝑣𝑠(𝑡) = 𝑒
𝑗𝜔𝑡e a tensão 
de saída deve ser dada por 𝑣𝑐(𝑡) = 𝐻(𝑗𝜔)𝑒
𝑗𝜔𝑡. Substituindo esses valores na 
equação 38, teremos: 
𝑅𝐶[𝐻(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡] + 𝐻(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝑒𝑗𝜔𝑡 (39) 
𝑅𝐶𝑗𝜔𝐻(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡 + 𝐻(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡 = 𝑒𝑗𝜔𝑡 
Reduzindo a equação: 
𝐻(𝑗𝜔)𝑒𝑗𝜔𝑡 =
1
1 + 𝑅𝐶𝑗𝜔
𝑒𝑗𝜔𝑡 
𝐻(𝑗𝜔) =
1
1 + 𝑅𝐶𝑗𝜔
 (40) 
 
A partir da equação 40, podemos gerar os gráficos de magnitude e fase: 
Figura 23 – Gráfico de magnitude 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
Figura 24 – Gráfico de fase 
 
Fonte: Oppenheim; Wiillsky; Nawab (2010). 
 
 
21 
Pelo gráfico da magnitude, podemos perceber que, para valores 
próximos de ω=0, a resposta em frequência |H(jω)| = 1. Para outros valores, 
tende a diminuir quanto maior for o |ω|. Podemos concluir que é um filtro 
passa-baixa, mas não é ideal. 
FINALIZANDO 
Nesta aula estudamos a representação da transformada de Fourier em 
magnitude e fase e compreendemos que a resposta em frequência de um sinal 
pode sofrer grandes distorções com a variação da fase. Estudamos alguns 
conceitos como fase linear e não linear. Percebemos que isso pode modificar a 
saída do sistema. Aplicamos nos gráficos de magnitude e fase o logaritmo e 
percebemos que isso tornou a compreensão do gráfico mais simples. 
Estudamos sistemas de primeira ordem com base em equações diferenciais. 
Também vimos diversos tipos de filtros ideais e seu formato. Entendemos que 
o uso de filtros ideais é uma forma de separar as bandas que se deseja usar no 
sistema, de outras bandas em que é interessante que sejam atenuadas. Tudo 
depende de quais faixas de frequência será utilizada para a aplicação. 
 
 
 
 
 
22 
REFERÊNCIAS 
LATHI, B. P. Sinais e sistemas lineares, 2. ed. Porto Alegre: Bookman, 2007. 
OPPENHEIM, A. V.; WIILLSKY, A. S.; NAWAB, H. Sinais e sistemas. 2. ed. 
São Paulo: Pearson, 2010. 
RAGINSKY, M. Signal and systems. Duke University, 2008. Material de aula. 
ZIBETTI, M. Sinais e sistemas. UTFPR, 2012. Material de aula.