AV02 Cálculo Númerico

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Questões
Resolva as questões a seguir considerando os números m1, m2, m3, m4,
m5, p1, p2, p3 e p4 fixados na Tabela 1. Indique todos os cálculos efetuados
para fins de acompanhamento. Use arredondamento e represente números
com no máximo 4 casas decimais, a não ser que seja primordial usar mais
casas decimais.
01. (valor 3.0) Considere o sistema linear em que p1, p2, p3 e p4 são os
dados da tabela e x1, x2, x3 e x4 as incógnitas.
(4 p1 + p2 + p3 + p4)x1 + p4 x2 + p3 x3 + p2 x4 = 0
p3 x1 + (p1 + p2 + p3)x2 + p1 x3 + p3 x4 = 1
p3 x1 + p1 x2 + (4 |p2|+ 2)x3 + p4 x4 = 2
p1 x1 + p3 x2 + p2 x3 + (4 |p1|+ 1)x4 = 3 .
Considere a seguinte aproximação inicial para a solução do sistema
x
(0)
1 = p1, x
(0)
2 = p2, x
(0)
3 = p3, x
(0)
4 = p4.
(a) Escreva a matriz A dos coeficientes do sistema.
(b) Verifique se a matriz A satisfaz o critério de Sassenfeld (critério
das linhas com peso).
(c) Responda sim ou não para a pergunta a seguir: baseando-
se no item (b) pode-se dizer que o método iterativo de Gauss-
Jacobi gerará uma sequência de aproximações convergente para
a solução do sistema dado considerando a aproximação inicial
também dada?
(d) Responda sim ou não para a pergunta a seguir: baseando-
se no item (b) pode-se dizer que o método iterativo de Gauss-
Seidel gerará uma sequência de aproximações convergente para
a solução do sistema dado considerando a aproximação inicial
também dada?
(e) Independentemente de suas resposta no item (d) escreva a fórmula
das iteradas do método de Gauss-Seidel e realize três iterações
do mesmo a partir da aproximação inicial dada.
(f) Baseando-se no item (e) determine o erro máximo absoluto ao
se passar da segunda para a terceira iteração.
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02. (valor 3.0 ) Construa a Tabela 2 de dados a seguir a partir dos valores
definidos na Tabela 1.
Tabela 2
xk x0 = m1 x1 = m1 + m2 + 10 x2 = m2 + m3 + 20 x3 = m3 + m4 + 30
yk = f(xk) y0 = p1 y1 = p1 + p2 y2 = p1 + p2 + p3 y3 = p1 + p2 + 2 p3 + p4
.
(a) Determine cada um dos polinômios de Lagrange para a tabela
dada e obtenha um polinômio de grau no máximo três, p3(x),
que forneça a interpolação dos pontos tabelados.
(b) Considere x̄ = x1+x2
2
. Baseando-se no item(a) determine uma
estimativa para o valor de f(x̄) por p3(x̄) e chame-o de ȳ.
(c) Inverta os papéis de x e de y na Tabela 2 e em seguida determine
todas as diferenças divididas de Newton de ordem até três, em
função de y.
(d) Usando os resultados do item (c) determine um polinômio de
grau no máximo três, q3(y), que forneça a interpolação “inversa”
dos pontos tabelados.
(e) Considere o valor ȳ obtido no item (b). Baseando-se no item(d)
obtenha uma aproximação do valor ¯̄x tal que f(¯̄x) = ȳ.
(e) Determine o valor x̄ − ¯̄x. Se x̄ − ¯̄x 6= 0, haveria algo de errado
nisto?
As terceira e quarta questões estão na próxima página.
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03. (valor 2.0) Construa a Tabela 3 de dados a seguir a partir dos valores
definidos na Tabela 1.
Tabela 3
xk x1 = m1 x2 = m2 + m3 x3 = m2 + 3m4 + 2 x4 = m2 + 5m5
yk = f(xk) y1 = p1 + p2 y2 = p2 + p3 y3 = p1 + p2 + p3 y4 = p1 + 2p2 + 2 p3 + p4
.
(a) Determine o diagrama de dispesão dos dados da Tabela 3.
(b) Use o método dos mı́nimos quadrados e determine uma
função g(x) cujo gráfico ajusta aos dados da Tabela 3, tomando
como base as funções g1(x) = 1, g2(x) =
√
x e g3(x) = x. (suges-
tão: use o WolfranAlpha ou outro software para determinar a
solução do sistema linear envolvido. Não precisa detalhar a res-
olução do sistema linear, mas apenas indicar a sua solução).
(c) Calcule a soma total dos quadrados do desvios:
4∑
k=1
(g(xk)− yk)2.
(d) Exiba o gráfico da função ajuste y = g(x) sobreposto com o dia-
grama de dispersão. (Pode usar software para isto).
(e) Determine uma estimativa para o valor de f
(
x2+x3
2
)
.
04. (valor 2.0) Use o método de Newton para obter três iterações da aproxi-
mação da solução do sistema não linear considerando as aproximações
iniciais x(0) e y(0) dadas.{
(p1 + 1)xy
2 − x2y = p2 + 1 , x(0) = 2.5 ,
(p2 + 1)x
2 + y3 = p3 , y
(0) = −0.5 .
Boa Prova!
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