Aula 20 - Dependência e Independência Linear. Bases e Dimensões

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A lista de exerc´ıcios nu´mero 3 esta´ dispon´ıvel na internet.
I Combinac¸a˜o linear.
I Espac¸o gerado e subespac¸os de Rn.
I Vetores linearmente independentes LI.
I Vetores linearmente dependentes LD.
I Base e dimensa˜o.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk .
Exemplo: Dados V1, V2 e V3 enta˜o
V = −2V1 + 4V2 + 7V3
W = V1 + 5V3
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1, V2 e V3.
Combinac¸a˜o Linear
Sejam dados V1, . . . ,Vk vetores de Rn.
Uma combinac¸a˜o linear destes vetores e´ um vetor V que se
escreve do seguinte modo
V = x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk .
Exemplo: Dados V1, V2 e V3 enta˜o
V = −2V1 + 4V2 + 7V3
W = V1 + 5V3
sa˜o combinac¸o˜es lineares de V1, V2 e V3.
Espac¸o Gerado
O espac¸o gerado pelos vetores V1, . . . ,Vk e´ o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares destes vetores.
[V1, . . . ,Vk ] = { V = x1V1 + · · ·+ xkVk | x1, . . . , xk ∈ R }
Um tal subconjunto de Rn e´ um subespac¸o de Rn.
Como ~0 = 0V1 + · · ·+ 0Vk , a origem sempre pertence a um
subespac¸o de Rn.
Espac¸o Gerado
O espac¸o gerado pelos vetores V1, . . . ,Vk e´ o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares destes vetores.
[V1, . . . ,Vk ] = { V = x1V1 + · · ·+ xkVk | x1, . . . , xk ∈ R }
Um tal subconjunto de Rn e´ um subespac¸o de Rn.
Como ~0 = 0V1 + · · ·+ 0Vk , a origem sempre pertence a um
subespac¸o de Rn.
Espac¸o Gerado
O espac¸o gerado pelos vetores V1, . . . ,Vk e´ o conjunto de todas as
combinac¸o˜es lineares destes vetores.
[V1, . . . ,Vk ] = { V = x1V1 + · · ·+ xkVk | x1, . . . , xk ∈ R }
Um tal subconjunto de Rn e´ um subespac¸o de Rn.
Como ~0 = 0V1 + · · ·+ 0Vk , a origem sempre pertence a um
subespac¸o de Rn.
Exemplos de subespac¸os
Exemplo: O espac¸o gerado por um vetor na˜o nulo e´ o conjunto
dos mu´ltiplos deste vetor.
Neste caso, este subespac¸o e´ uma reta
pela origem.
Exemplo: O espac¸o gerado por dois vetores na˜o paralelos e´ o plano
que conte´m estes vetores. O subespac¸o e´ um plano pela origem.
Exemplos de subespac¸os
Exemplo: O espac¸o gerado por um vetor na˜o nulo e´ o conjunto
dos mu´ltiplos deste vetor. Neste caso, este subespac¸o e´ uma reta
pela origem.
Exemplo: O espac¸o gerado por dois vetores na˜o paralelos e´ o plano
que conte´m estes vetores. O subespac¸o e´ um plano pela origem.
Exemplos de subespac¸os
Exemplo: O espac¸o gerado por um vetor na˜o nulo e´ o conjunto
dos mu´ltiplos deste vetor. Neste caso, este subespac¸o e´ uma reta
pela origem.
Exemplo: O espac¸o gerado por dois vetores na˜o paralelos e´ o plano
que conte´m estes vetores.
O subespac¸o e´ um plano pela origem.
Exemplos de subespac¸os
Exemplo: O espac¸o gerado por um vetor na˜o nulo e´ o conjunto
dos mu´ltiplos deste vetor. Neste caso, este subespac¸o e´ uma reta
pela origem.
Exemplo: O espac¸o gerado por dois vetores na˜o paralelos e´ o plano
que conte´m estes vetores. O subespac¸o e´ um plano pela origem.
Exemplos de subespac¸os
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (1,−2, 0) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [U,V1,V2] e´ um plano pela origem.
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [W ,V1,V2] e´ todo o R3.
Obs: No item (b) vimos que [U,V1,V2] = [V1,V2]. Isto ocorre
porque U ja´ esta´ no espac¸o gerado por V1 e V2, ou seja, U ja´ e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2. Generalizando....
Exemplos de subespac¸os
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (1,−2, 0) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2?
Neste caso o
subespac¸o [U,V1,V2] e´ um plano pela origem.
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [W ,V1,V2] e´ todo o R3.
Obs: No item (b) vimos que [U,V1,V2] = [V1,V2]. Isto ocorre
porque U ja´ esta´ no espac¸o gerado por V1 e V2, ou seja, U ja´ e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2. Generalizando....
Exemplos de subespac¸os
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (1,−2, 0) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [U,V1,V2] e´ um plano pela origem.
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [W ,V1,V2] e´ todo o R3.
Obs: No item (b) vimos que [U,V1,V2] = [V1,V2]. Isto ocorre
porque U ja´ esta´ no espac¸o gerado por V1 e V2, ou seja, U ja´ e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2. Generalizando....
Exemplos de subespac¸os
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (1,−2, 0) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [U,V1,V2] e´ um plano pela origem.
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2?
Neste caso o
subespac¸o [W ,V1,V2] e´ todo o R3.
Obs: No item (b) vimos que [U,V1,V2] = [V1,V2]. Isto ocorre
porque U ja´ esta´ no espac¸o gerado por V1 e V2, ou seja, U ja´ e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2. Generalizando....
Exemplos de subespac¸os
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (1,−2, 0) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [U,V1,V2] e´ um plano pela origem.
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [W ,V1,V2] e´ todo o R3.
Obs: No item (b) vimos que [U,V1,V2] = [V1,V2]. Isto ocorre
porque U ja´ esta´ no espac¸o gerado por V1 e V2, ou seja, U ja´ e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2. Generalizando....
Exemplos de subespac¸os
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (1,−2, 0) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [U,V1,V2] e´ um plano pela origem.
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [W ,V1,V2] e´ todo o R3.
Obs: No item (b) vimos que [U,V1,V2] = [V1,V2]. Isto ocorre
porque U ja´ esta´ no espac¸o gerado por V1 e V2, ou seja, U ja´ e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2.
Generalizando....
Exemplos de subespac¸os
Exemplo:
(a) Determine a equac¸a˜o do plano α gerado pelos vetores
V1 = (2,−1, 1) e V2 = (3, 0, 2).
(b) O vetor U = (1,−2, 0) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por U, V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [U,V1,V2] e´ um plano pela origem.
(c) O vetor W = (3, 2, 1) pertence a este plano α?
Qual e´ o espac¸o gerado por W , V1 e V2? Neste caso o
subespac¸o [W ,V1,V2] e´ todo o R3.
Obs: No item (b) vimos que [U,V1,V2] = [V1,V2]. Isto ocorre
porque U ja´ esta´ no espac¸o gerado por V1 e V2, ou seja, U ja´ e´
uma combinac¸a˜o linear de V1 e V2. Generalizando....
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . .,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Proposic¸a˜o: Se V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk enta˜o
o espac¸o gerado por V0,V1, . . . ,Vk e´ igual ao espac¸o gerado por
V1, . . . ,Vk . Em s´ımbolos:
[V0,V1, . . . ,Vk ] = [V1, . . . ,Vk ]
Demonstrac¸a˜o: Como V0 e´ uma combinac¸a˜o linear de V1, . . . ,Vk
podemos escrever V0 = α1V1 + · · ·+ αkVk .
Se V e´ uma combinac¸a˜o linear de V0,V1, . . . ,Vk enta˜o
V = x0V0 + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = x0(α1V1 + · · ·+ αkVk) + x1V1 + · · ·+ xkVk
V = (x0α1 + x1)V1 + · · ·+ (x0αk + xk)Vk .
Portanto todo vetor que e´ uma combinac¸a˜o linear de
V0,V1, . . . ,Vk tambe´m e´ uma combinac¸a˜o linear de apenas
V1, . . . ,Vk , sendo desnecessa´rio o vetor V0.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais.
Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais. Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais. Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais. Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Espac¸o Gerado
Enta˜o para formar o espac¸o gerado por um conjunto de vetores
V1, . . . ,Vk podemos “jogar fora” todo vetor que e´ uma
combinac¸a˜o linear dos demais. Isto nos faz pensar sobre a seguinte
pergunta:
I Dado um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk como saber se um
deles, e qual deles, e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais?
Para responder esta pergunta vamos estudar o conceito de
dependeˆncia linear.
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Neste caso, para construir o espac¸o gerado, existem “vetores
sobrando”.
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
1. Como saber se um conjunto V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente? Por tentativa, verificando se cada um e´
combinac¸a˜o linear dos demais?
2. Se os vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente dependente, como
saber qual destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais? Ou enta˜o cada um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o
linear dos demais?
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Teorema: Um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente se a equac¸a˜o vetorial
x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0
possui soluc¸a˜o na˜o trivial. Isto e´, possui soluc¸a˜o em que algum
xi 6= 0.
De fato, por exemplo, se x1 6= 0, na equac¸a˜o
x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0 podemos isolar V1, escrevendo V1
como uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores.
V1 = −x2
x1
V2 − · · · − xk
x1
Vk .
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Teorema: Um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente se a equac¸a˜o vetorial
x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0
possui soluc¸a˜o na˜o trivial. Isto e´, possui soluc¸a˜o em que algum
xi 6= 0.
De fato, por exemplo, se x1 6= 0, na equac¸a˜o
x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0 podemos isolar V1, escrevendo V1
como uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores.
V1 = −x2
x1
V2 − · · · − xk
x1
Vk .
Dependeˆncia Linear
Definic¸a˜o: Um conjunto de vetores e´ linearmente dependente
se um deles for uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Teorema: Um conjunto de vetores V1, . . . ,Vk e´ linearmente
dependente se a equac¸a˜o vetorial
x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0
possui soluc¸a˜o na˜o trivial. Isto e´, possui soluc¸a˜o em que algum
xi 6= 0.
De fato, por exemplo, se x1 6= 0, na equac¸a˜o
x1V1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0 podemos isolar V1, escrevendo V1
como uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores.
V1 = −x2
x1
V2 − · · · − xk
x1
Vk .
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (1, 2, 5), V2 = (7,−1, 5) e
V3 = (1,−1,−1) sa˜o LI ou LD.
Resolvendo a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 + x3V3 = ~0, obtemos
2V1 − V2 + 5V3 = ~0.
Neste caso, qualquer um destes vetores pode ser escrito como uma
combinac¸a˜o linear dos outros dois.
portanto [V1,V2,V3] = [V1,V2] = [V1,V3] = [V2,V3].
Este espac¸o gerado e´ um plano pela origem.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (1, 2, 5), V2 = (7,−1, 5) e
V3 = (1,−1,−1) sa˜o LI ou LD.
Resolvendo a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 + x3V3 = ~0, obtemos
2V1 − V2 + 5V3 = ~0.
Neste caso, qualquer um destes vetores pode ser escrito como uma
combinac¸a˜o linear dos outros dois.
portanto [V1,V2,V3] = [V1,V2] = [V1,V3] = [V2,V3].
Este espac¸o gerado e´ um plano pela origem.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (1, 2, 5), V2 = (7,−1, 5) e
V3 = (1,−1,−1) sa˜o LI ou LD.
Resolvendo a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 + x3V3 = ~0, obtemos
2V1 − V2 + 5V3 = ~0.
Neste caso, qualquer um destes vetores pode ser escrito como uma
combinac¸a˜o linear dos outros dois.
portanto [V1,V2,V3] = [V1,V2] = [V1,V3] = [V2,V3].
Este espac¸o gerado e´ um plano pela origem.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (1, 2, 5), V2 = (7,−1, 5) e
V3 = (1,−1,−1) sa˜o LI ou LD.
Resolvendo a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 + x3V3 = ~0, obtemos
2V1 − V2 + 5V3 = ~0.
Neste caso, qualquer um destes vetores pode ser escrito como uma
combinac¸a˜o linear dos outros dois.
portanto [V1,V2,V3] = [V1,V2] = [V1,V3] = [V2,V3].
Este espac¸o gerado e´ um plano pela origem.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (1, 2, 5), V2 = (7,−1, 5) e
V3 = (1,−1,−1) sa˜o LI ou LD.
Resolvendo a equac¸a˜o x1V1 + x2V2 + x3V3 = ~0, obtemos
2V1 − V2 + 5V3 = ~0.
Neste caso, qualquer um destes vetores pode ser escrito como uma
combinac¸a˜o linear dos outros dois.
portanto [V1,V2,V3] = [V1,V2] = [V1,V3] = [V2,V3].
Este espac¸o gerado e´ um plano pela origem.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (3, 0,−12), V2 = (−1, 2, 1)
e V3 = (−2, 0, 8) sa˜o LI ou LD.
Neste exemplo 2V1 + 0V2 + 3V3 = ~0. Portanto
I podemos escrever V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3.
I e tambe´m podemos escrever V3 como combinac¸a˜o linear de
V1 e V2.
I mas na˜o podemos escrever V2 como combinac¸a˜o linear de V1
e V3.
Da´ı [V1,V2,V3] = [V2,V3] = [V1,V2]. Este espac¸o e´ um plano.
Observe que [V1,V3] e´ uma reta contida neste plano.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (3, 0,−12), V2 = (−1, 2, 1)
e V3 = (−2, 0, 8) sa˜o LI ou LD.
Neste exemplo 2V1 + 0V2 + 3V3 = ~0.
Portanto
I podemos escrever V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3.
I e tambe´m podemos escrever V3 como combinac¸a˜o linear de
V1 e V2.
I mas na˜o podemos escrever V2 como combinac¸a˜o linear de V1
e V3.
Da´ı [V1,V2,V3] = [V2,V3] = [V1,V2]. Este espac¸o e´ um plano.
Observe que [V1,V3] e´ uma reta contida neste plano.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (3, 0,−12), V2 = (−1, 2, 1)
e V3 = (−2, 0, 8) sa˜o LI ou LD.
Neste exemplo 2V1 + 0V2 + 3V3 = ~0. Portanto
I podemos escrever V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3.
I e tambe´m podemos escrever V3 como combinac¸a˜o linear de
V1 e V2.
I mas na˜o podemos escrever V2 como combinac¸a˜o linear de V1
e V3.
Da´ı [V1,V2,V3] = [V2,V3] = [V1,V2]. Este espac¸o e´ um plano.
Observe que [V1,V3] e´ uma reta contida neste plano.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (3, 0,−12), V2 = (−1, 2, 1)
e V3 = (−2, 0, 8) sa˜o LI ou LD.
Neste exemplo 2V1 + 0V2 + 3V3 = ~0. Portanto
I podemos escrever V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3.
I e tambe´m podemos escrever V3 como combinac¸a˜o linear de
V1 e V2.
I mas na˜o podemos escrever V2 como combinac¸a˜o linear de V1
e V3.
Da´ı [V1,V2,V3] = [V2,V3] = [V1,V2]. Este espac¸o e´ um plano.
Observe que [V1,V3] e´ uma reta contida neste plano.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (3, 0,−12), V2 = (−1, 2, 1)
e V3 = (−2, 0, 8) sa˜o LI ou LD.
Neste exemplo 2V1 + 0V2 + 3V3 = ~0. Portanto
I podemos escrever V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3.
I e tambe´m podemos escrever V3 como combinac¸a˜o linear de
V1 e V2.
I mas na˜o podemos escrever V2 como combinac¸a˜o linear de V1
e V3.
Da´ı [V1,V2,V3] = [V2,V3] = [V1,V2]. Este espac¸o e´ um plano.
Observe que [V1,V3] e´ uma reta contida neste plano.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (3, 0,−12), V2 = (−1, 2, 1)
e V3 = (−2, 0, 8) sa˜o LI ou LD.
Neste exemplo 2V1 + 0V2 + 3V3 = ~0. Portanto
I podemos escrever V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3.
I e tambe´m podemos escrever V3 como combinac¸a˜o linear de
V1 e V2.
I mas na˜o podemos escrever V2 como combinac¸a˜o linear de V1
e V3.
Da´ı [V1,V2,V3] = [V2,V3] = [V1,V2]. Este espac¸o e´ um plano.
Observe que [V1,V3] e´ uma reta contida neste plano.
Dependeˆncia Linear
Exemplo: Verifique se os vetores V1 = (3, 0,−12), V2 = (−1, 2, 1)
e V3 = (−2, 0, 8) sa˜o LI ou LD.
Neste exemplo 2V1 + 0V2 + 3V3 = ~0. Portanto
I podemos escrever V1 como combinac¸a˜o linear de V2 e V3.
I e tambe´m podemos escrever V3 como combinac¸a˜o linear de
V1 e V2.
I mas na˜o podemos escrever V2 como combinac¸a˜o linear de V1
e V3.
Da´ı [V1,V2,V3] = [V2,V3] = [V1,V2]. Este espac¸o e´ um plano.
Observe que [V1,V3] e´ uma reta contida neste plano.
Dependeˆncia Linear
Obs: No exemplo anterior vimos que quando um conjunto de
vetores e´ LD enta˜o um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais. Entretanto, mesmo o conjunto sendo LD, pode ser que
exista um vetor que na˜o seja uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Vimos que se V1,V2, . . . ,Vk e´ um conjunto LD e se, por exemplo,
V1 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores enta˜o
[V1,V2, . . . ,Vk ] = [V2, . . . ,Vk ].
Para formar o espac¸o gerado na˜o precisamos do vetor V1.
Podemos gerar este mesmo espac¸ocom um vetor a menos.
Podemos continuar o processo, agora com os vetores V2, . . . ,Vk ,
eliminando vetores que ja´ sa˜o combinac¸o˜es lineares dos demais.
Apo´s eliminar todos estes vetores, ficamos com um conjunto de
vetores linearmente independete e que gera o mesmo espac¸o.
Neste momento, obtemos uma base para este subespac¸o.
Dependeˆncia Linear
Obs: No exemplo anterior vimos que quando um conjunto de
vetores e´ LD enta˜o um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais. Entretanto, mesmo o conjunto sendo LD, pode ser que
exista um vetor que na˜o seja uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Vimos que se V1,V2, . . . ,Vk e´ um conjunto LD e se, por exemplo,
V1 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores enta˜o
[V1,V2, . . . ,Vk ] = [V2, . . . ,Vk ].
Para formar o espac¸o gerado na˜o precisamos do vetor V1.
Podemos gerar este mesmo espac¸o com um vetor a menos.
Podemos continuar o processo, agora com os vetores V2, . . . ,Vk ,
eliminando vetores que ja´ sa˜o combinac¸o˜es lineares dos demais.
Apo´s eliminar todos estes vetores, ficamos com um conjunto de
vetores linearmente independete e que gera o mesmo espac¸o.
Neste momento, obtemos uma base para este subespac¸o.
Dependeˆncia Linear
Obs: No exemplo anterior vimos que quando um conjunto de
vetores e´ LD enta˜o um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais. Entretanto, mesmo o conjunto sendo LD, pode ser que
exista um vetor que na˜o seja uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Vimos que se V1,V2, . . . ,Vk e´ um conjunto LD e se, por exemplo,
V1 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores enta˜o
[V1,V2, . . . ,Vk ] = [V2, . . . ,Vk ].
Para formar o espac¸o gerado na˜o precisamos do vetor V1.
Podemos gerar este mesmo espac¸o com um vetor a menos.
Podemos continuar o processo, agora com os vetores V2, . . . ,Vk ,
eliminando vetores que ja´ sa˜o combinac¸o˜es lineares dos demais.
Apo´s eliminar todos estes vetores, ficamos com um conjunto de
vetores linearmente independete e que gera o mesmo espac¸o.
Neste momento, obtemos uma base para este subespac¸o.
Dependeˆncia Linear
Obs: No exemplo anterior vimos que quando um conjunto de
vetores e´ LD enta˜o um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais. Entretanto, mesmo o conjunto sendo LD, pode ser que
exista um vetor que na˜o seja uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Vimos que se V1,V2, . . . ,Vk e´ um conjunto LD e se, por exemplo,
V1 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores enta˜o
[V1,V2, . . . ,Vk ] = [V2, . . . ,Vk ].
Para formar o espac¸o gerado na˜o precisamos do vetor V1.
Podemos gerar este mesmo espac¸o com um vetor a menos.
Podemos continuar o processo, agora com os vetores V2, . . . ,Vk ,
eliminando vetores que ja´ sa˜o combinac¸o˜es lineares dos demais.
Apo´s eliminar todos estes vetores, ficamos com um conjunto de
vetores linearmente independete e que gera o mesmo espac¸o.
Neste momento, obtemos uma base para este subespac¸o.
Dependeˆncia Linear
Obs: No exemplo anterior vimos que quando um conjunto de
vetores e´ LD enta˜o um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais. Entretanto, mesmo o conjunto sendo LD, pode ser que
exista um vetor que na˜o seja uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Vimos que se V1,V2, . . . ,Vk e´ um conjunto LD e se, por exemplo,
V1 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores enta˜o
[V1,V2, . . . ,Vk ] = [V2, . . . ,Vk ].
Para formar o espac¸o gerado na˜o precisamos do vetor V1.
Podemos gerar este mesmo espac¸o com um vetor a menos.
Podemos continuar o processo, agora com os vetores V2, . . . ,Vk ,
eliminando vetores que ja´ sa˜o combinac¸o˜es lineares dos demais.
Apo´s eliminar todos estes vetores, ficamos com um conjunto de
vetores linearmente independete e que gera o mesmo espac¸o.
Neste momento, obtemos uma base para este subespac¸o.
Dependeˆncia Linear
Obs: No exemplo anterior vimos que quando um conjunto de
vetores e´ LD enta˜o um destes vetores e´ uma combinac¸a˜o linear dos
demais. Entretanto, mesmo o conjunto sendo LD, pode ser que
exista um vetor que na˜o seja uma combinac¸a˜o linear dos demais.
Vimos que se V1,V2, . . . ,Vk e´ um conjunto LD e se, por exemplo,
V1 e´ uma combinac¸a˜o linear dos demais vetores enta˜o
[V1,V2, . . . ,Vk ] = [V2, . . . ,Vk ].
Para formar o espac¸o gerado na˜o precisamos do vetor V1.
Podemos gerar este mesmo espac¸o com um vetor a menos.
Podemos continuar o processo, agora com os vetores V2, . . . ,Vk ,
eliminando vetores que ja´ sa˜o combinac¸o˜es lineares dos demais.
Apo´s eliminar todos estes vetores, ficamos com um conjunto de
vetores linearmente independete e que gera o mesmo espac¸o.
Neste momento, obtemos uma base para este subespac¸o.
Base e Dimensa˜o
Uma base e´ um conjunto m´ınimo de geradores para um
subespac¸o.
Definic¸a˜o: Seja W um subespac¸o de Rn. Uma base {V1, . . . ,Vk}
para W e´ um conjunto de geradores linearmente independentes
para W . (nenhum vetor e´ combinac¸a˜o linear dos demais vetores)
Se a base tem k vetores, dizemos que W e´ um subespac¸o de
dimensa˜o k .
dim(W ) = k .
Se {V1, . . . ,Vk} e´ uma base para o subespac¸o W , enta˜o W e´ o
espac¸o gerado por estes vetores. Mais ainda, na˜o existem “vetores
sobrando”. Na˜o podemos descartar nenhum dos vetores da base.
W = [V1, . . . ,Vk ].
Base e Dimensa˜o
Uma base e´ um conjunto m´ınimo de geradores para um
subespac¸o.
Definic¸a˜o: Seja W um subespac¸o de Rn. Uma base {V1, . . . ,Vk}
para W e´ um conjunto de geradores linearmente independentes
para W .
(nenhum vetor e´ combinac¸a˜o linear dos demais vetores)
Se a base tem k vetores, dizemos que W e´ um subespac¸o de
dimensa˜o k .
dim(W ) = k .
Se {V1, . . . ,Vk} e´ uma base para o subespac¸o W , enta˜o W e´ o
espac¸o gerado por estes vetores. Mais ainda, na˜o existem “vetores
sobrando”. Na˜o podemos descartar nenhum dos vetores da base.
W = [V1, . . . ,Vk ].
Base e Dimensa˜o
Uma base e´ um conjunto m´ınimo de geradores para um
subespac¸o.
Definic¸a˜o: Seja W um subespac¸o de Rn. Uma base {V1, . . . ,Vk}
para W e´ um conjunto de geradores linearmente independentes
para W . (nenhum vetor e´ combinac¸a˜o linear dos demais vetores)
Se a base tem k vetores, dizemos que W e´ um subespac¸o de
dimensa˜o k .
dim(W ) = k .
Se {V1, . . . ,Vk} e´ uma base para o subespac¸o W , enta˜o W e´ o
espac¸o gerado por estes vetores. Mais ainda, na˜o existem “vetores
sobrando”. Na˜o podemos descartar nenhum dos vetores da base.
W = [V1, . . . ,Vk ].
Base e Dimensa˜o
Uma base e´ um conjunto m´ınimo de geradores para um
subespac¸o.
Definic¸a˜o: Seja W um subespac¸o de Rn. Uma base {V1, . . . ,Vk}
para W e´ um conjunto de geradores linearmente independentes
para W . (nenhum vetor e´ combinac¸a˜o linear dos demais vetores)
Se a base tem k vetores, dizemos que W e´ um subespac¸o de
dimensa˜o k .
dim(W ) = k .
Se {V1, . . . ,Vk} e´ uma base para o subespac¸o W , enta˜o W e´ o
espac¸o gerado por estes vetores. Mais ainda, na˜o existem “vetores
sobrando”. Na˜o podemos descartar nenhum dos vetores da base.
W = [V1, . . . ,Vk ].
Base e Dimensa˜o
Uma base e´ um conjunto m´ınimo de geradores para um
subespac¸o.
Definic¸a˜o: Seja W um subespac¸o de Rn. Uma base {V1, . . . ,Vk}
para W e´ um conjunto de geradores linearmente independentes
para W . (nenhum vetor e´ combinac¸a˜o linear dos demais vetores)
Se a base tem k vetores, dizemos que W e´ um subespac¸o de
dimensa˜o k .
dim(W ) = k .
Se {V1, . . . ,Vk} e´ uma base para o subespac¸o W , enta˜o W e´ o
espac¸o gerado por estes vetores. Mais ainda, na˜o existem “vetores
sobrando”. Na˜o podemos descartar nenhum dos vetores da base.
W = [V1, . . . ,Vk ].
Base e Dimensa˜o
Exemplo 1: No plano, {~i ,~j} e´ uma base de R2.
Exemplo 2: De modo mais geral, quaisquer vetores na˜o paralelos
V1 e V2 formam uma base {V1,V2} de R2.
Exemplo 3: No espac¸o, {~i ,~j , ~k} e´ uma base de R3.
Exemplo 4: Se W e´ uma reta pela origem, e se V1 ∈W e´ um
vetor na˜o nulo, enta˜o {V1} e´ uma base para W .
Exemplo 5: Se W e´ um plano pela origem e se V1 e V2 sa˜o dois
vetores na˜oparalelos em W , enta˜o {V1,V2} e´ uma base de W .
Exemplo 6: Se V1, V2 e V3 sa˜o vetores na˜o coplanares, enta˜o
{V1,V2,V3} e´ uma base de R3. Observe que este e´ o caso se, e
somente se, det[V1,V2,V3] 6= 0.
Base e Dimensa˜o
Exemplo 1: No plano, {~i ,~j} e´ uma base de R2.
Exemplo 2: De modo mais geral, quaisquer vetores na˜o paralelos
V1 e V2 formam uma base {V1,V2} de R2.
Exemplo 3: No espac¸o, {~i ,~j , ~k} e´ uma base de R3.
Exemplo 4: Se W e´ uma reta pela origem, e se V1 ∈W e´ um
vetor na˜o nulo, enta˜o {V1} e´ uma base para W .
Exemplo 5: Se W e´ um plano pela origem e se V1 e V2 sa˜o dois
vetores na˜o paralelos em W , enta˜o {V1,V2} e´ uma base de W .
Exemplo 6: Se V1, V2 e V3 sa˜o vetores na˜o coplanares, enta˜o
{V1,V2,V3} e´ uma base de R3. Observe que este e´ o caso se, e
somente se, det[V1,V2,V3] 6= 0.
Base e Dimensa˜o
Exemplo 1: No plano, {~i ,~j} e´ uma base de R2.
Exemplo 2: De modo mais geral, quaisquer vetores na˜o paralelos
V1 e V2 formam uma base {V1,V2} de R2.
Exemplo 3: No espac¸o, {~i ,~j , ~k} e´ uma base de R3.
Exemplo 4: Se W e´ uma reta pela origem, e se V1 ∈W e´ um
vetor na˜o nulo, enta˜o {V1} e´ uma base para W .
Exemplo 5: Se W e´ um plano pela origem e se V1 e V2 sa˜o dois
vetores na˜o paralelos em W , enta˜o {V1,V2} e´ uma base de W .
Exemplo 6: Se V1, V2 e V3 sa˜o vetores na˜o coplanares, enta˜o
{V1,V2,V3} e´ uma base de R3. Observe que este e´ o caso se, e
somente se, det[V1,V2,V3] 6= 0.
Base e Dimensa˜o
Exemplo 1: No plano, {~i ,~j} e´ uma base de R2.
Exemplo 2: De modo mais geral, quaisquer vetores na˜o paralelos
V1 e V2 formam uma base {V1,V2} de R2.
Exemplo 3: No espac¸o, {~i ,~j , ~k} e´ uma base de R3.
Exemplo 4: Se W e´ uma reta pela origem, e se V1 ∈W e´ um
vetor na˜o nulo, enta˜o {V1} e´ uma base para W .
Exemplo 5: Se W e´ um plano pela origem e se V1 e V2 sa˜o dois
vetores na˜o paralelos em W , enta˜o {V1,V2} e´ uma base de W .
Exemplo 6: Se V1, V2 e V3 sa˜o vetores na˜o coplanares, enta˜o
{V1,V2,V3} e´ uma base de R3. Observe que este e´ o caso se, e
somente se, det[V1,V2,V3] 6= 0.
Base e Dimensa˜o
Exemplo 1: No plano, {~i ,~j} e´ uma base de R2.
Exemplo 2: De modo mais geral, quaisquer vetores na˜o paralelos
V1 e V2 formam uma base {V1,V2} de R2.
Exemplo 3: No espac¸o, {~i ,~j , ~k} e´ uma base de R3.
Exemplo 4: Se W e´ uma reta pela origem, e se V1 ∈W e´ um
vetor na˜o nulo, enta˜o {V1} e´ uma base para W .
Exemplo 5: Se W e´ um plano pela origem e se V1 e V2 sa˜o dois
vetores na˜o paralelos em W , enta˜o {V1,V2} e´ uma base de W .
Exemplo 6: Se V1, V2 e V3 sa˜o vetores na˜o coplanares, enta˜o
{V1,V2,V3} e´ uma base de R3. Observe que este e´ o caso se, e
somente se, det[V1,V2,V3] 6= 0.
Base e Dimensa˜o
Exemplo 1: No plano, {~i ,~j} e´ uma base de R2.
Exemplo 2: De modo mais geral, quaisquer vetores na˜o paralelos
V1 e V2 formam uma base {V1,V2} de R2.
Exemplo 3: No espac¸o, {~i ,~j , ~k} e´ uma base de R3.
Exemplo 4: Se W e´ uma reta pela origem, e se V1 ∈W e´ um
vetor na˜o nulo, enta˜o {V1} e´ uma base para W .
Exemplo 5: Se W e´ um plano pela origem e se V1 e V2 sa˜o dois
vetores na˜o paralelos em W , enta˜o {V1,V2} e´ uma base de W .
Exemplo 6: Se V1, V2 e V3 sa˜o vetores na˜o coplanares, enta˜o
{V1,V2,V3} e´ uma base de R3.
Observe que este e´ o caso se, e
somente se, det[V1,V2,V3] 6= 0.
Base e Dimensa˜o
Exemplo 1: No plano, {~i ,~j} e´ uma base de R2.
Exemplo 2: De modo mais geral, quaisquer vetores na˜o paralelos
V1 e V2 formam uma base {V1,V2} de R2.
Exemplo 3: No espac¸o, {~i ,~j , ~k} e´ uma base de R3.
Exemplo 4: Se W e´ uma reta pela origem, e se V1 ∈W e´ um
vetor na˜o nulo, enta˜o {V1} e´ uma base para W .
Exemplo 5: Se W e´ um plano pela origem e se V1 e V2 sa˜o dois
vetores na˜o paralelos em W , enta˜o {V1,V2} e´ uma base de W .
Exemplo 6: Se V1, V2 e V3 sa˜o vetores na˜o coplanares, enta˜o
{V1,V2,V3} e´ uma base de R3. Observe que este e´ o caso se, e
somente se, det[V1,V2,V3] 6= 0.
Base e Dimensa˜o
Exemplo 7: Determine uma base para o plano de equac¸a˜o
2x + y − 3x = 0. Em seguida complete esta base ate´ uma base de
R3.
Exemplo 8: Determine uma base e a dimensa˜o do seguinte
subespac¸o de R3
W = {(a− b, b + c , 2a− b + c) ∈ R3, ∀ a, b, c ∈ R}.
Exemplo 9: O conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo
e´ um subespac¸o de Rn. Por exemplo, determine uma base para o
conjunto soluc¸a˜o de
x + y − 2z − w = 0
−x − y + 2z + w = 0
2x + 2y − z + w = 0
Base e Dimensa˜o
Exemplo 7: Determine uma base para o plano de equac¸a˜o
2x + y − 3x = 0. Em seguida complete esta base ate´ uma base de
R3.
Exemplo 8: Determine uma base e a dimensa˜o do seguinte
subespac¸o de R3
W = {(a− b, b + c , 2a− b + c) ∈ R3, ∀ a, b, c ∈ R}.
Exemplo 9: O conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo
e´ um subespac¸o de Rn. Por exemplo, determine uma base para o
conjunto soluc¸a˜o de
x + y − 2z − w = 0
−x − y + 2z + w = 0
2x + 2y − z + w = 0
Base e Dimensa˜o
Exemplo 7: Determine uma base para o plano de equac¸a˜o
2x + y − 3x = 0. Em seguida complete esta base ate´ uma base de
R3.
Exemplo 8: Determine uma base e a dimensa˜o do seguinte
subespac¸o de R3
W = {(a− b, b + c , 2a− b + c) ∈ R3, ∀ a, b, c ∈ R}.
Exemplo 9: O conjunto soluc¸a˜o de um sistema linear homogeˆneo
e´ um subespac¸o de Rn. Por exemplo, determine uma base para o
conjunto soluc¸a˜o de
x + y − 2z − w = 0
−x − y + 2z + w = 0
2x + 2y − z + w = 0
Vetores LI e LD: caracterizac¸a˜o via determinantes
Por definic¸a˜o, um vetor V de Rn e´ uma combinac¸a˜o linear de
V1,V2, . . . ,Vk se a seguinte equac¸a˜o vetorial tem soluc¸a˜o
x1V 1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = V .
Vimos que isto e´ equivalente ao sistema linear AX = V ter
soluc¸a˜o, em que as colunas de A sa˜o os vetores V1,V2, . . . ,Vk .
Por definic¸a˜o, os vetores V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD se o vetor nulo ~0
for uma combinac¸a˜o linear na˜o trivial destes vetores.
x1V 1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0.
Isto enta˜o e´ equivalente ao sistema linear homogeˆneo AX = 0 ter
soluc¸a˜o na˜o trivial, em que as colunas de A sa˜o os vetores
V1,V2, . . . ,Vk .
Vetores LI e LD: caracterizac¸a˜o via determinantes
Por definic¸a˜o, um vetor V de Rn e´ uma combinac¸a˜o linear de
V1,V2, . . . ,Vk se a seguinte equac¸a˜o vetorial tem soluc¸a˜o
x1V 1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = V .
Vimos que isto e´ equivalente ao sistema linear AX = V ter
soluc¸a˜o, em que as colunas de A sa˜o os vetores V1,V2, . . . ,Vk .
Por definic¸a˜o, os vetores V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD se o vetor nulo ~0
for uma combinac¸a˜o linear na˜o trivial destes vetores.
x1V 1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0.
Isto enta˜o e´ equivalente ao sistema linear homogeˆneo AX = 0 ter
soluc¸a˜o na˜o trivial, em que as colunas de A sa˜o os vetores
V1,V2, . . . ,Vk .
Vetores LI e LD: caracterizac¸a˜o via determinantes
Por definic¸a˜o, um vetor V de Rn e´ uma combinac¸a˜o linear de
V1,V2, . . . ,Vk se a seguinte equac¸a˜o vetorial tem soluc¸a˜o
x1V 1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = V .
Vimos que isto e´ equivalente ao sistema linear AX = V ter
soluc¸a˜o, em que as colunas de A sa˜o os vetores V1,V2, . . . ,Vk .
Por definic¸a˜o, os vetores V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD se o vetor nulo ~0
for uma combinac¸a˜o linear na˜o trivial destes vetores.
x1V 1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0.
Isto enta˜o e´ equivalente ao sistema linear homogeˆneo AX = 0 ter
soluc¸a˜o na˜o trivial, em que as colunas de A sa˜o os vetores
V1,V2, . . . ,Vk .
Vetores LI e LD: caracterizac¸a˜o via determinantes
Por definic¸a˜o, um vetor V de Rn e´ uma combinac¸a˜o linear de
V1,V2, . . . ,Vk se a seguinte equac¸a˜o vetorial tem soluc¸a˜o
x1V 1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = V .
Vimos que isto e´ equivalente ao sistema linear AX = V ter
soluc¸a˜o, em que as colunas de A sa˜o os vetores V1,V2, . . . ,Vk .
Por definic¸a˜o, os vetores V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD se o vetor nulo ~0
for uma combinac¸a˜o linear na˜o trivial destes vetores.
x1V 1 + x2V2 + · · ·+ xkVk = ~0.
Isto enta˜o e´ equivalente ao sistema linear homogeˆneo AX = 0 ter
soluc¸a˜o na˜o trivial, em que as colunas de A sa˜o osvetores
V1,V2, . . . ,Vk .
Vetores LI e LD: caracterizac¸a˜o via determinantes
Enta˜o os vetores V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD quando o sistema linear
AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial, em que as colunas de A sa˜o os
vetores V1,V2, . . . ,Vk .
Se k = n, ou seja, se temos n vetores em Rn, a matriz A e´
quadrada. Lembre-se que, neste caso, o sistema homogeˆneo
AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial somente quando det(A) = 0
(a matriz A na˜o tem inversa).
Portanto
I V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD ⇔ det(A) = 0.
I V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LI ⇔ det(A) 6= 0.
Vetores LI e LD: caracterizac¸a˜o via determinantes
Enta˜o os vetores V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD quando o sistema linear
AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial, em que as colunas de A sa˜o os
vetores V1,V2, . . . ,Vk .
Se k = n, ou seja, se temos n vetores em Rn, a matriz A e´
quadrada.
Lembre-se que, neste caso, o sistema homogeˆneo
AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial somente quando det(A) = 0
(a matriz A na˜o tem inversa).
Portanto
I V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD ⇔ det(A) = 0.
I V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LI ⇔ det(A) 6= 0.
Vetores LI e LD: caracterizac¸a˜o via determinantes
Enta˜o os vetores V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD quando o sistema linear
AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial, em que as colunas de A sa˜o os
vetores V1,V2, . . . ,Vk .
Se k = n, ou seja, se temos n vetores em Rn, a matriz A e´
quadrada. Lembre-se que, neste caso, o sistema homogeˆneo
AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial somente quando det(A) = 0
(a matriz A na˜o tem inversa).
Portanto
I V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD ⇔ det(A) = 0.
I V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LI ⇔ det(A) 6= 0.
Vetores LI e LD: caracterizac¸a˜o via determinantes
Enta˜o os vetores V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD quando o sistema linear
AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial, em que as colunas de A sa˜o os
vetores V1,V2, . . . ,Vk .
Se k = n, ou seja, se temos n vetores em Rn, a matriz A e´
quadrada. Lembre-se que, neste caso, o sistema homogeˆneo
AX = 0 tem soluc¸a˜o na˜o trivial somente quando det(A) = 0
(a matriz A na˜o tem inversa).
Portanto
I V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LD ⇔ det(A) = 0.
I V1,V2, . . . ,Vk sa˜o LI ⇔ det(A) 6= 0.