Lista3

Prévia do material em texto

UFF - Departamento de Matema´tica Aplicada (GMA)
3a Lista de Exerc´ıcios de Ca´lculo Diferencial e Integral IV - 2011-1
Nos exerc´ıcios de 1 a 18, encontre uma parametrizac¸a˜o
para S e esboce-a.
1. S : plano z = y.
2. S : 4x2 + 9y2 = 36, z ∈ R.
3. S : z = y2, x ∈ R.
4. S : (x− 2)2 + (y − 3)2 + (z + 1)2 = 4.
5. S : (x− 1)2 + (y − 4)2 = 1, z ∈ R.
6. S : porc¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 25 entre os planos
z = 0 e z = 2.
7. S :
(
x− 1
2
)2
+
(
y + 2
3
)2
+
(
z + 1
4
)2
= 1.
8. S : porc¸a˜o do plano z = 8, situada no interior do
cilindro x2 + y2 = 16.
9. S : porc¸a˜o do plano x+y+z = 4, situada no interior
do cilindro x2 + y2 = 16.
10. S : porc¸a˜o do cilindro x2 + y2 = 16 entre os planos
x+ y + z = 4 e z = 16.
11. S : porc¸a˜o do cilindro x2+ y2 = 25, z ≥ 0, entre os
planos z = 2x e z = 4x.
12. S : porc¸a˜o da semi-esfera x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 0,
situada no interior do cilindro x2 + y2 = 2y.
13. S : porc¸a˜o do parabolo´ide z = x2 + y2, situada no
interior do cilindro x2 + y2 = 9.
14. S : obtida pela rotac¸a˜o em torno do eixo z da curva
z = 4− y2, x = 0, 0 ≤ y ≤ 2
15. S : obtida pela revoluc¸a˜o da curva y =
x
2
, z = 0,
0 ≤ x ≤ 6, em torno do eixo x.
16. S : obtida pela revoluc¸a˜o da curva z = 4−y2, x = 0,
0 ≤ y ≤ 2, em torno do eixo y.
17. S : obtida pela rotac¸a˜o em torno do eixo z da curva
z = ex, y = 0, x ≥ 0.
18. S = {(x, y, z) ∈ R3; b2c2x2 + a2c2y2 + a2b2z2 =
a2b2c2, a, b, c > 0}.
19. Seja S uma superf´ıcie parametrizada por ϕ(u, v) =
(v cosu, v senu, 1− v2), 0 ≤ u ≤ 2pi, v ≥ 0:
(a) Identifique esta superf´ıcie. S e´ regular?
(b) Encontre uma equac¸a˜o da reta normal e a
equac¸a˜o do plano tangente a S em ϕ(0, 1).
20. Determine o plano tangente a` superf´ıcie dada, no
ponto dado:
(a) σ(u, v) = (u, v, u2 + v2), no ponto σ(1, 1);
(b) σ(u, v) = (arctan(uv), eu
2−v2 , u− v), no ponto
σ(1,−1).
21. Dada a esfera de raio 2, centrada na origem, en-
contre a equac¸a˜o do plano tangente a ela no ponto
(1, 1,
√
2), considerando a esfera como:
(a) Uma superf´ıcie parametrizada por: ϕ(φ, θ) =
(2 senφ cos θ, 2 senφ sen θ, 2 cosφ), 0 ≤ φ ≤
pi, 0 ≤ θ ≤ 2pi;
(b) Uma superf´ıcie de n´ıvel de F (x, y, z) = x2 +
y2 + z2;
(c) O gra´fico de g(x, y) =
√
4− x2 − y2.
22. Seja C = {(0, y, z) ∈ R3; z2+(y−2)2 = 1} e seja S o
conjunto do espac¸o obtido pela rotac¸a˜o do conjunto
C em torno do eixo z. Deˆ uma parametrizac¸a˜o para
S. Ache a a´rea de S.
23. Calcule a a´rea de S dada por:
(a) ϕ(u, v) = (u, v, 1−u−v), u ≥ 0, v ≥ 0, u+v ≤
1;
(b) ϕ(u, v) = (cosu, v, senu), u2 + 4v2 ≤ 1;
(c) ϕ(u, v) = (u cos v, u sen v, v), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤
v ≤ 3pi.
24. Calcule a a´rea da parte da superf´ıcie cil´ındrica z2+
x2 = 4 que se encontra dentro do cilindro x2+y2 ≤
4 e acima do plano xy.
25. Calcule a a´rea da parte da superf´ıcie esfe´rica x2 +
y2 + z2 = 1 que se encontra dentro do cone z ≥√
x2 + y2.
26. Calcule a a´rea da superf´ıcie z =
√
x2 + y2, (x −
2)2 + 4y2 ≤ 1.
27. Calcule a a´rea da parte do cone z2 = x2+y2 que se
encontra dentro do cilindro x2 + y2 ≤ 2x, fora do
cilindro x2 + y2 ≤ 1, e acima do plano xy.
1
Lista 3 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 2
28. O cilindro x2 + y2 = 1 e´ cortado por um plano
ax + by + z = 2. Determine a relac¸a˜o entre a e b
para que a regia˜o do plano delimitada pelo cilindro
tenha a´rea pi
√
5.
29. Achar a a´rea do parabolo´ide z = x2+ y2 abaixo do
plano z = 1.
30. Achar a a´rea do triaˆngulo cortado do plano
x
a
+
y
b
+
z
c
= 1 pelos planos coordenados.
31. Achar a a´rea da superf´ıcie esfe´rica x2+y2+z2 = a2
que se encontra dentro do cilindro x2 + y2 = ax.
32. Achar a a´rea cortada do plano z = cx pelo cilindro
x2 + y2 = a2.
33. Demonstre que a a´rea da esfera x2 + y2 + z2 = a2,
dentro do parabolo´ide
x2
b
+
y2
b
= 2(z + a) e´ 4piab,
sempre que 0 < b ≤ a.
34. Calcular a a´rea da regia˜o do plano x + y + z = a
determinada pelo cilindro x2 + y2 = a2.
Nos exerc´ıcios de 35 a 37, calcule
∫∫
S
f(x, y, z) dS,
sendo:
35. f(x, y, z) = xy, S : ϕ(u, v) = (u− v, u+ v, 2u+ v+
1), 0 ≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ u.
36. f(x, y, z) = x2 + y2, S : x2 + y2 + z2 = 4, z ≥ 1.
37. f(x, y, z) = y2z, S : superf´ıcie cil´ındrica x2 + y2 =
a2, no primeiro octante, entre z = 0 e z = 4.
38. Calcule o centro de massa da superf´ıcie homogeˆnea
parte da superf´ıcie coˆnica z2 = x2 + y2 compreen-
dida entre os planos z = 1 e z = 2.
39. Suponha que a esfera de raio 1 tem uma densidade
por unidade de a´rea igual ao quadrado da distaˆncia
do ponto ao eixo z. Determine a massa total da
esfera.
40. Calcule o momento de ine´rcia da superf´ıcie esfe´rica
de raio R, homogeˆnea de massa M , em torno de
qualquer diaˆmetro.
41. Seja a superf´ıcie de revoluc¸a˜o obtida girando-se o
c´ırculo (y − 1)2 + z2 = 1 em torno do eixo z:
(a) Deˆ uma parametrizac¸a˜o de S;
(b) Calcule a a´rea de S;
(c) Calcule
∫∫
S
(1 + x2y2z) dS.
42. Seja S a superf´ıcie de equac¸a˜o 2z = x2 + y2, onde
0 ≤ z ≤ k e k > 0:
(a) Deˆ uma parametrizac¸a˜o para S;
(b) Sabendo-se que a a´rea de S vale
14pi
3
, deter-
mine o valor de k;
(c) Calcule
∫∫
S
(2 + xy − yz) dS.
43. Considere γ o arco da para´bola z = 3−y2 no plano
yz compreendido entre as semi-retas z = 2y e z =
11
2
y, com y ≥ 0. Seja S a superf´ıcie obtida girando-
se γ em torno do eixo z. Pede-se:
(a) Uma parametrizac¸a˜o para S;
(b) A a´rea de S.
44. Deseja-se construir uma pec¸a de zinco que tem a
forma da superf´ıcie de equac¸a˜o z = 1 − x2, com-
preendida entre os planos y = 0, z = 0, e o cilindro
z = 1 − y2, y ≥ 0. Se o metro quadrado do zinco
custa A reais, calcule o prec¸o total da pec¸a.
45. Calcule a a´rea da superf´ıcie da esfera de raio a cen-
trada na origem limitada por dois paralelos e dois
meridianos, sabendo-se que o aˆngulo entre os merid-
ianos e´ α e a distaˆncia entre os planos que conte´m
os paralelos e´ h.
46. Considere a superf´ıcie S do parabolo´ide z = x2+y2,
com x2+y2 ≤ 4. Se a densidade (massa por unidade
de a´rea) em cada ponto (x, y, z) ∈ S e´ igual ao
quadrado da distaˆncia ao eixo de simetria de S,
calcule a massa total de S.
47. Seja S uma superf´ıcie fechada tal que S = S1 ∪ S2,
onde S1 e S2 sa˜o as superf´ıcies de revoluc¸a˜o obti-
das pela rotac¸a˜o em torno do eixo z das curvas
C1 : z = 1−x, 0 ≤ x ≤ 1 e C2 : z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, re-
spectivamente. Se ρ(x, y, z) =
√
x2 + y2 e´ a func¸a˜o
que fornece a densidade (massa por unidade de
a´rea) em cada ponto (x, y, z) ∈ S, calcule a massa
de S.
48. Considerando-se que a superf´ıcie S e´ obtida
girando-se o segmento de reta de extremidades
(1, 0, 2) e (2, 0, 1) em torno do eixo z, pede-se:
(a) Uma parametrizac¸a˜o para S;
(b) O momento de ine´rcia em relac¸a˜o ao eixo z,
supondo-se S homogeˆnea.
Nos exerc´ıcios de 49 a 55, calcule
∫∫
S
~F · ~n dS, com ~n
apontando para fora de S, sendo:
49. ~F (x, y, z) = x2~ı − ~ + ~k, S : fronteira do cubo 0 ≤
x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
50. ~F (x, y, z) = x~ı+ y~+ z~k, S : x2+ y2 = a2, 0 ≤ z ≤
h.
Lista 3 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 3
51. ~F (x, y, z) = x~ı+y~+(2z−x−y)~k, S : lata cil´ındrica
com fundo e sem tampa dada por x2+ y2 = 1, 0 ≤
z ≤ 1 e x2 + y2 ≤ 1, z = 0.
52. ~F (x, y, z) = x~ı+y~+(2z−x−y)~k, S : funil dado por
x2+y2−z2 = 0, 1 ≤ z ≤ 4 e x2+y2 = 1, 0 ≤ z ≤ 1.
53. ~F (x, y, z) = x~ı + y~ + (2z − x − y)~k, S : calha
dada por y − z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1 e
y + z = 0, 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ z ≤ 1.
54. ~F (x, y, z) = x~ı + y~ + z~k, S : superf´ıcie cil´ındrica
x2+y2 = 1, limitada superiormente pelo plano x+
y + z = 2 e inferiormente pelo plano x+ y + z = 1.
55. ~F (x, y, z) = x~ı − xy~ + z~k, S : superf´ıcie cil´ındrica
x2+z2 = R2, limitada pelos planos y = 1 e x+y =
4.
56. Calcule o fluxo do campo ~F (x, y, z) = −y~ı + x~ +
f(x, y, z)~k, atrave´sda superf´ıcie fechada S : lata
cil´ındrica com fundo e com tampa dada por x2 +
y2 = 1, a ≤ z ≤ b e x2 + y2 ≤ 1, z = a e x2 + y2 ≤
1, z = b, sabendo-se que f e´ cont´ınua, f(x, y, a) =
A e f(x, y, b) = B, onde A e B sa˜o constantes, com
~n apontando para fora de S.
57. Seja S a parte da superf´ıcie x2+ y2 = 4 delimitada
pelos planos z = 0, z + y = 2 e seja ~F (x, y, z) =
x~ı+y~+(1+xy2+z2)~k. Fixe uma orientac¸a˜o sobre
S e calcule o fluxo de ~F atrave´s de S.
58. Use o teorema de Stokes para calcular
∮
C
(1 +
y)z dx + (1 + z)x dy + (1 + x)y dz ao longo do
triaˆngulo C com ve´rtices P1(1, 0, 0), P2(0, 1, 0) e
P3(0, 0, 1) e orientado de P1 a P2.
59. Seja C a curva dada pela intersec¸a˜o das superf´ıcies
cujas equac¸o˜es sa˜o x2 + y2 + z2 = 4 e y + z = 2.
Fixe uma orientac¸a˜o sobre C e calcule
∫
C
~F · d~r,
sabendo que ~F (x, y, z) = z~ı+ x~+ z~k.
x
1
y1
C
z x
y
C
z
Fig. 1 (exerc´ıcio 60) Fig. 2 (exerc´ıcio 61)
60. Seja C a curva sobre o cilindro x2 + y2 = 1 que
comec¸a no ponto (1, 0, 0) e termina no ponto (1, 0,
1), como mostra a Fig. 1. Calcule
∫
C
~F · d~r, onde
~F (x, y, z) e´ dado por ~F (x, y, z) = y(x−2)~ı+x2y~+
z~k.
61. Considere a lata cil´ındrica L de raio 1 com um
bordo diferencia´vel e uma orientac¸a˜o como mostra
a Fig. 2. Seja ~F (x, y, z) = −2y3~ı + 2x3~ + 3z2~k.
Qual e´ o valor de
∫
∂L
~F · d~r ?
62. Seja ~F (x, y, z) = 2y~ı+
x2
2
~+
√
1 + z8 ~k. Calcule∫
C
~F · d~r, onde C e´ a curva dada pela intersec¸a˜o
das superf´ıcies z = x2 + y2 e x2 + (y − 1)2 = 1
com um sentido de percurso tal que, quando proje-
tado no plano z = 0 produz um percurso no sentido
anti-hora´rio.
63. Considere o campo vetorial ~F (x, y, z) = (x+ z)~ı+
(y + f(x, z))~ + (z − 4 + xy)~k, (x, y, z) ∈ R3, de
classe C1 e seja S a calota esfe´rica x2 + y2 + z2 =
r2, z ≥ 0, r > 0. Sabendo que o fluxo de ~F atrave´s
de S deve ser nulo, calcule o raio da calota.
64. Fixe uma orientac¸a˜o sobre C e determine a
relac¸a˜o entre a e b para que
∫
C
~F · d~r = pi, onde
~F (x, y, z) = z~ı + 2x~ − 2y~k e C e´ a curva dada
pela intersec¸a˜o das superf´ıcies (y − 1)2 + z2 = 1 e
ax+ by + z = 2, a 6= 0 e b > 2.
65. Considere o campo vetorial de classe C∞, definido
em todo R3, dado por ~F (x, y, z) = (x+y)~ı+(xy2+
f(x, z))~+ (z − 1)~k. Sabendo que e´ nulo o fluxo de
~F atrave´s da superf´ıcie S dada por z = k− x2− y2
onde 0 ≤ z ≤ k, determine a constante k.
66. Seja S uma superf´ıcie fechada, com ~n vetor unita´rio
normal exterior a S. Seja ~F um campo vetorial
de classe C1 num aberto contendo S. Mostre que∫∫
S
rot ~F · ~n dS = 0.
67. Seja ~F o campo vetorial no R3 dado por
~F (x, y, z) = (y−z)~ı+yz~−xz~k. Calcule
∮
∂S
~F · d~r,
sabendo-se que S consiste das cinco faces do cubo
[0, 2]× [0, 2]× [0, 2] que na˜o esta˜o no plano xy, com
~n apontando para fora.
68. Seja a superf´ıcie coˆnica S de ve´rtice (0, 0, h) e de
base situada no plano xy com raio 1 e ~n com
a componente ~k na˜o negativa. Seja ~F (x, y, z) =
∂f
∂y
(x, y, z)~ı− ∂f
∂x
(x, y, z)~ + 2(z + 1)~k, sendo f de
classe C2. Calcule o fluxo de ~F atrave´s de S.
Lista 3 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 4
69. Calcule
∮
C
~F · d~r, sendo ~F um campo em R3 dado
por ~F (x, y, z) = (−y, x, f(x, y, z)), onde f de classe
C1, tal que ~∇f ·~ı = −3 em R3 e C e´ a intersec¸a˜o
da superf´ıcie x2+ y2 = 1 com plano z− y = 2, com
uma orientac¸a˜o tal que quando projetada no plano
z = 0 produz um percurso no sentido hora´rio.
70. Seja ~F um campo vetorial de classe C1 no aberto
U = R3−{(0, 0, 0), (1, 1, 1)} e tal que div~F = 0 em
U . Sejam S1 e S2 superf´ıcies esfe´ricas de centro (0,
0, 0) e (1, 1, 1), respectivamente, e raios iguais a
1
4
,
com normais exteriores ~n1 e ~n2. Seja S3 uma su-
perf´ıcie esfe´rica, centrada na origem, e raio 5, com
normal exterior ~n3. Calcule
∫∫
S3
~F ·~n3 dS, sabendo-
se que
∫∫
S1
~F · ~n1 dS = 3pi e
∫∫
S2
~F · ~n2 dS = 2pi.
71. Sejam ~r = x~ı + y~ + z~k e r = ‖~r ‖. Seja S uma
superf´ıcie esfe´rica, centrada na origem, com normal
exterior ~n. Calcule
∫∫
S
~r · ~n
r3
dS.
72. Sejam f, g : R3 → R de classe C2. Seja B uma
esfera e seja S a fronteira de B, com normal exterior
~n. Prove:
(a)
∫∫
S
∂g
∂~n
dS =
∫∫∫
B
∇2g dxdydz
(b)
∫∫
S
f
∂g
∂~n
dS =
∫∫∫
B
(f∇2g+ ~∇f · ~∇g) dxdydz
(c)
∫∫
S
f
∂f
∂~n
dS =
∫∫∫
B
(f∇2f + ‖~∇f‖2) dxdydz
73. Seja B um compacto e seja S a fronteira de B, com
normal exterior ~n, se ~r = x~ı + y~ + z~k e r = ‖~r ‖,
Prove que
∫∫∫
B
r dV =
1
12
∫∫
S
~∇r3 · ~n dS.
74. Calcule
∫∫
S
~F · ~n dS, sendo S a fronteira de B,
com normal exterior ~n, sendo B = {(x, y, z) ∈
R3;x2 + y2 ≤ 1, x2 + y2 ≤ z ≤ 5 − x2 − y2} e
~F (x, y, z) = 3xy~ı− 3
2
y2~+ z~k.
75. Seja C uma curva simples plana fechada, no espac¸o,
que limita uma regia˜o de a´rea A. Seja ~n = a~ı+b~+
c~k um vetor unita´rio normal ao plano de C. Calcule
I =
1
2
∮
C+
(bz − cy)dx+ (cx− az)dy+ (ay− bx)dz.
76. Seja S a calota esfe´rica dada pela equac¸a˜o x2 +
y2 + (z − 2)2 = 4, onde 0 ≤ z ≤ 2. Sobre S fixe a
orientac¸a˜o ~n tal que ~n(0, 0, 0) = −~k e considere o
campo vetorial ~F (x, y, z) = (y+ z2)~ı+(xz2− y)~+
(2z + xy2 + x2y3)~k. Calcule o fluxo de ~F atrave´s
da superf´ıcie orientada S.
77. Seja o campo vetorial ~F , tal que rot ~F (x, y, z) =
(2x, 2(y−1), f(z)), onde f : R→ R e´ de classe C1 e
tal que f(0) = 1. Calcule
∮
C
~F ·d~r, onde C e´ a curva
dada pela intersec¸a˜o das superf´ıcies z = x2 + y2 e
x2+(y− 1)2 = 1, com um percurso tal que quando
projetado no plano z = 0, produz um percurso no
sentido anti-hora´rio.
78. Seja S a parte do cone z = 4−
√
x2 + y2, delimitada
pelos planos z = 4 e z = 0. Fixe uma orientac¸a˜o
sobre S e calcule
∫∫
S
~F · ~n dS, onde ~F (x, y, z) =
(xy + yz2)~ı+ (y + x2z2)~+ (xz2 + 1)~k.
79. Seja S a parte da superf´ıcie x2+ y2 = 4 delimitada
pelos planos z = 0 e z + y = 2, e seja ~F (x, y, z) =
(x + y2)~ı + (y − xy)~ + (z + x5y10)~k. Fixe uma
orientac¸a˜o sobre S e calcule o fluxo de ~F atrave´s de
S.
80. Considere o campo vetorial ~F (x, y, z) = (x +
f(y, z))~ı + (x − y + z)~ + (z4 − 3a2)~k, onde f :
R2 → R e´ uma func¸a˜o de classe C2. Seja S uma
lata cil´ındrica com fundo e sem tampa dada por
x2 + y2 = a2, 0 ≤ z ≤ √a, a > 0 e x2 + y2 ≤
a2, z = 0. Sabendo-se que o fluxo de ~F atrave´s de
S, de dentro para fora, e´ igual a pia3, calcule o valor
de a.
81. Seja o campo vetorial ~F (x, y, z) = (xy + cos z)~ı +(
3xz − y
2
2
)
~+
(
ex
2+y2 − z
2
2
)
~k. Calcule o fluxo
de ~F atrave´s da face externa da superf´ıcie S = S1∪
S2, sendo S1 dada por z =
√
x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 1 e
S2 por x2 + y2 + (z − 1)2 = 1, 1 ≤ z ≤ 2.
82. Calcule
∫∫
S
~F · ~n dS, onde ~F (x, y, z) =
(x2 + y2 + z2)−3/2(x, y, z) e S e´ a esfera
x2 + y2 + z2 = a2, com vetor normal ~n exte-
rior.
Nos exerc´ıcios 83 a 88, use o teorema de Stokes para
mostrar que a integral de linha e´ igual ao valor dado,
indicando, em cada caso a orientac¸a˜o da curva C.
83.
∮
C
y dx + z dy + x dz = −2pi
√
2, onde C e´ a curva
obtida como intersec¸a˜o do plano x + y = 2 com a
esfera x2 + y2 + z2 = 2(x+ y).
84.
∮
C
(3y+z)dx+(x+4y)dy+(2x+y)dz = −3
√
2pia2
4
,
onde C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o da esfera
x2 + y2 + z2 = a2 com o plano y + z = a.
Lista 3 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 5
85.
∮
C
2xy dx+
[
(1− y)z + x2 + x] dy+(x2
2
+ ez
)
dz =
pi, onde C e´ a curva obtida como intersec¸a˜o do
cilindro x2 + y2 = 1, z ≥ 0, com o cone z2 =
x2 + (y − 1)2.
86.
∮
C
(y + z3x2) dx + (2z + 5x + y3) dy + (4y +
z cosx) dz = −16
3
√
6pi, onde C e´ a curva obtida
como intersec¸a˜o do parabolo´ide z =
x2
3
+ 2y2 com
o plano 3z + 2x = 5.
87.
∮
C
(8x− 2y) dx + y dy + 3z dz = 4
√
3, onde C e´ a
fronteira do triaˆngulo equila´tero situado no plano
−3x +√3z + 6 = 0 de ve´rtices P = (2, 2, 0), Q =
(2, 6, 0) e R = (2 +
√
3, 4, 3).
88.
∮
C
(y + z) dx + (z + x) dy + (x + y) dz = 0, onde
C e´ a intersec¸a˜o do plano y = z com o cilindro
x2 + y2 = 2y.
89. Seja C a circunfereˆncia de raio a, no plano 2x+2y+
z = 4, centrada no ponto (1, 2,−2). Se ~F (x, y, z) =
(y − x, z − x, x − y), determine o valor de a para
que
∮
C+
~F · d~r = −8pi
3
.
90. Calcule
∫∫
S
~F · ~n dS, onde ~F (x, y, z) = (x,−2y +
ex cos z, z + x2) e S e´ definida por: z = 9 − (x2 +
y2), 0 ≤ z ≤ 5; z = 5, 1 ≤ x2 + y2 ≤ 4; z =
8− 3(x2 + y2), x2 + y2 ≤ 1, com campo de vetores
normais exterior a S.
91. Considere a superf´ıcie S = S1 ∪S2, onde S1 e´ dada
por z =
√
x2 + y2, 0 ≤ z ≤ 2√2, e S2 e´ definida
por x2 + y2 + z2 = 16, 8 ≤ x2 + y2 ≤ 16 e z ≥
0. Calcule o fluxo do campo vetorial ~F (x, y, z) =
(y2x, z2y + x, x2z − 5) atrave´s da superf´ıcie S com
campo de vetores normais exterior a S.
92. Sejam ~F (x, y, z) = (x, y, z) um campo vetorial em
R3 e W a piraˆmide de ve´rtices O,A,B,C, onde
O = (0, 0, 0), A = (0, 1, 0), B = (0, 0, 1) e C =
(c, 1, 0) (c > 0), Calcule o valor de c sabendo que∫∫
SW
~F · ~n dS +
∫∫
SABC
~F · ~n dS = 1
onde SW e´ a superf´ıcie da piraˆmide W, SABC e´ a
face de ve´rtices A,B,C, e ~n e´ o campo de vetores
normais apontando para fora da piraˆmide.
93. Seja W uma regia˜o fechada e limitada de R3, cuja
fronteira, ∂W , e´ a unia˜o de duas superf´ıcies S1 e S2,
orientadas com vetor normal exterior a W . Con-
sidere o vetor normal a S1 com terceira componente
positiva. Qual o valor de∫∫
S2
~F ·~n dS, onde ~F (x, y, z) = (ey2+z2, y+2
√
5,−2y)
sabendo que S1 e´ uma porc¸a˜o do plano 2y + z = 1
com 5 unidades de a´rea e queW possui 30 unidades
de volume.
94. Seja S uma superf´ıcie, onde o vetor normal ~n tem
componente z na˜o negativa, cujo bordo ∂S esta´
contido no plano x + z = 2 e delimita uma regia˜o
de a´rea A. Calcule o valor de A, sabendo-se que
~F (x, y, z) = (y− z, z,−xz) e
∫∫
S
rot ~F ·~n dS = −4.
95. Considere a superf´ıcie S do cilindro x2 + y2 = 2x,
compreendida entre o plano z = −1 e o parabolo´ide
z = x2 + y2. Pede-se:
(a) A a´rea de S;
(b) O fluxo de ~F (x, y, z) = (3(x − 1) − y, 3y +
x − 1, e sen z), atrave´s de S, com o campo de
vetores normais apontando para dentro de S.
96. Seja C a curva obtida como intersec¸a˜o da superf´ıcie
z = 4 − x2, z ≥ 0, com o plano y + z = 6,
orientada no sentido anti-hora´rio quando vista da
origem. Calcule
∫
C
~F ·d~r, onde ~F (x, y, z) = (2xyz+
x13 − y, x2z + ey, x2y + z10).
97. Seja f : R3 → R de classe C2, tal que ∇2f = x2 +
y2 + z2,
∂f
∂z
(x, y, 0) =
3
5
, ∀(x, y, z) ∈ R3. Calcule∫∫
S
∂f
∂~n
dS, onde S e´ a superf´ıcie x2 + y2 + z2 =
1, z ≥ 0 e ~n e´ o unita´rio normal exterior a S.
98. Calcule
∫∫
S
~F · ~n dS, onde S e´ dada por x2 + y2 +
z2 = 4,
√
2 ≤ z ≤ √3 com vetor normal exterior a
S e ~F (x, y, z) = (z2, z4, yz).
99. Calcule o fluxo do campo ~F (x, y, z) =
(2x,−z(x2 + y2 + z2)−1/2, y(x2 + y2 + z2)−1/2)
atrave´s da superf´ıcie S definida pelas equac¸o˜es
x2
4
+
y2
9
+
z2
25
= 1, z ≥ 0; x
2
4
+
y2
9
= 1, −3 ≤
z ≤ 0; z = −3, x
2
4
+
y2
9
≤ 1.
100. Seja T o tetraedro de ve´rtices O = (0, 0, 0), A =
(2, 0, 0), B = (0, 6, 0) e C = (0, 0, 2). Sejam S a
superf´ıcie lateral de T constitu´ıda pelas faces de T
que na˜o esta˜o no plano xy, e ~F (x, y, z) = (3y +
Lista 3 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 6
z, x+4z, 2y+x) um campo vetorial de R3. Calcule∫∫
S
(rot ~F · ~n) dS, com a normal exterior a S.
101. Calcule o fluxo do campo ~F (x, y, z) =(
x3
3
+ y,
y3
3
,
z3
3
+ 2
)
atrave´s da superf´ıcie S
do so´lido W definido por W = {(x, y, z) ∈ R3;x2 +
y2+z2 ≥ 1, x2+y2+(z−2)2 ≤ 4 e z ≥
√
x2 + y2},
com campo de vetores normais a S apontando para
fora de W .
102. Seja ~E(x, y, z) =
q
x2 + y2 + z2
x~ı+ y~+ z~k√
x2 + y2 + z2
,
onde q e´ uma constante na˜o nula.
(a) Calcule div ~E;
(b) Calcule o fluxo de ~E atrave´s da superf´ıcie S :
x2 + y2 + z2 = 1, com normal ~n apontando
para fora de S;
(c) Calcule o fluxo de ~E atrave´s da superf´ıcie S :
x2+y2+(z−2)2 = 1, com normal ~n apontando
para fora de S;
(d) Calcule o fluxo de ~E atrave´s da fronteira do
cubo −2 ≤ x ≤ 2, −2 ≤ y ≤ 2, −2 ≤ z ≤ 2,
com normal ~n apontando para fora do cubo.
Nos exerc´ıcios 103 a 105, utilizando o Teorema de
Stokes, transforme
∫∫
S
rot ~F · ~n dS em uma integral de
linha e calcule.
103. ~F (x, y, z) = y~ı−x2~+5~k, S : σ(u, v) = (u, v, 1−u2)
com u ≥ 0, v ≥ 0 e u + v ≤ 1, sendo ~n a normal
apontando para cima.
104. ~F (x, y, z) = y~ı, S : z = x2 + y2 com z ≤ 1, e ~n a
normal com componente z positiva.
105. ~F (x, y, z) = −y2~ı+ x2~+ z2~k, S : x2+ y
2
4
+ z2 = 2
e z ≥ 1, sendo ~n a normal que aponta para cima.
Respostas
1. ϕ(u, v) = (u, v, v), (u, v) ∈ R2
2. ϕ(u, v) = (3 cosu, 2 senu, v), u ∈ [0, 2pi], v ∈ R
3. ϕ(u, v) = (u, v, v2), (u, v) ∈ R2
4. ϕ(u, v) = (2 + 2 cos v senu, 3 + 2 sen v senu, −1 +
2 cosu), u ∈ [0, pi], v ∈ [0, 2pi]
5. ϕ(u, v) = (1+cosu, 4+ senu, v), u ∈ [0, 2pi], v ∈ R
6. ϕ(u, v) = (5 cosu, 5 senu, v), u ∈ [0, 2pi], v ∈ [0, 2]
7. ϕ(u, v) = (1+2 cos v senu,−2+3 sen v senu, −1+
4 cosu), u ∈ [0, pi], v ∈ [0, 2pi]
8. ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, 8), 0 ≤ r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2pi
ou S : ϕ(x, y) = (x, y, 8) com x2 + y2 ≤ 16
9. ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, 4− r cos θ − r sen θ), 0 ≤
r ≤ 4, 0 ≤ θ ≤ 2pi ou S : ϕ(x, y) = (x, y, 4− x− y)
com x2 + y2 ≤ 16
10. ϕ(u, v) = (4 cosu, 4 senu, v), u ∈ [0, 2pi], 4 −
4 cosu− 4 senu ≤ v ≤ 16
11. ϕ(u, v) = (5 cosu, 5 senu, v), −pi
2
≤ u ≤ pi
2
,
10 cosu ≤ v ≤ 20 cosu
12. ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ,
√
4− r2), 0 ≤ r ≤
2 sen θ, 0 ≤ θ ≤ pi ou S : ϕ(x, y) =
(x, y,
√
4− x2 − y2), com x2 + y2 ≤ 2y
13. ϕ(r, θ) = (r cos θ, r sen θ, r2), 0 ≤ r ≤ 3, 0 ≤ θ ≤
2pi
14. ϕ(u, v) = (u cos v, u sen v, 4 − u2), u ∈ [0, 2], v ∈
[0, 2pi]
15. ϕ(u, v) =
(
u,
u
2
cos v,
u
2
sen v
)
, u ∈ [0, 6], v ∈ [0, 2pi]
16. ϕ(u, v) = ((4 − u2) sen v, u, (4 − u2) cos v), u ∈
[0, 2], v ∈ [0, 2pi]
17. ϕ(u, v) = (v cosu, v senu, ev), u ∈ [0, 2pi], v ≥ 0
18. ϕ(u, v) = (a cos v senu, b sen v senu, c cosu), u ∈
[0, pi], v ∈ [0, 2pi]
19. (a) Parabolo´ide circular; S e´ regular exceto no
ponto (0, 0, 1);
(b) Reta normal: x = 1− 2t, y = 0, z = −t, t ∈ R;
Plano tangente: 2x+ z − 2 = 0
20. (a) (x, y, z) = (1, 1, 2)+ s(1, 0, 2)+ t(0, 1, 2), s, t ∈
R;
(b) (x, y, z) =
(
−pi
4
, 1, 2
)
+ s
(
−1
2
, 2, 1
)
+
t
(
1
2
, 2,−1
)
, s, t ∈ R
21. (a), (b) e (c): x+ y +
√
2z = 4
22. ϕ(u, v) = ((2 + cos v) cosu, (2 + cos v) senu, sen v),
0 ≤ u ≤ 2pi, 0 ≤ v ≤ 2pi; 8pi2
23. (a)
√
3
2
(b)
pi
2
(c)
3pi
2
(
√
2 + ln(1 +
√
2))
24. 16 25. pi(2−√2) 26. pi
√
2
2
27.
√
2
6
(2pi + 3
√
3) 28. a2 + b2 = 4 29.
pi(5
√
5− 1)
6
.
30.
1
2
√
a2b2 + a2c2 + b2c2 31. 2a2(pi − 2)
Lista 3 de Ca´lc. Dif. e Int. IV 2011-1 7
32. pia2
√
1 + c2 34. pia2
√
3
35.
√
14
6
36.
20pi
3
37. 2pia3
38.
(
0, 0,
14
9
)
39.
8pi
3
40.
2MR2
3
41. (a) ϕ(t, θ) = ((1 + cos t) cos θ, (1 +
cos t) sen θ, sen t), 0 ≤ t ≤ 2pi, 0 ≤ θ ≤ 2pi;
(b) 4pi2; (c) 4pi2.
42. (a) ϕ(x, y) =
(
x, y,
x2 + y2
2
)
, x2 + y2 ≤ 2k;
(b) k =
3
2
; (c)
28pi
3
.
43. (a) ϕ(t, v) = (t sen v, t cos v, 3 − t2), 1
2
≤ t ≤
1, 0 ≤ v ≤ 2pi;
(b)
(5
√
5− 2√2)pi
6
.
44.
(5
√
5− 1)A
6
45. aαh 46.
pi
60
(1 + 391
√
17)
47.
(1 +
√
2)2pi
3
48. (a) ϕ(θ, t) = ((1+ t) cos θ, (1+ t) sen θ, 2− t), 0 ≤
t ≤ 1, 0 ≤ θ ≤ 2pi;
(b) Iz =
15
√
2δpi
2
49. 1 50. 2pia2h 51.2pi
52. −40pi 53. 0 54. 2pi
55. 6piR2 56. (B −A)pi 57. 16pi para ~n = (x, y, 0)
2
58.
3
2
59. 2
√
2pi com ~n =
(0, 1, 1)√
2
60. 2pi +
1
2
61. 3pi 62. −2pi 63. 2
64. b + 2 = 3a se a componente ~ı for positiva ou
b+ 2 = a caso contra´rio
65. k = 1 66. −4 67. 2pi
3
(h+ 3) 68. pi
70. 5pi 70. 4pi 73. 4pi
75. A 76. −32pi
3
77. −7pi 78. 112pi
3
79. 16pi 80. a =
1
3
81. −7pi
6
82. 4pi
89. a = 1 91.
81pi
4
91.
(1024
√
2− 400)pi
5
92. c = 1 93. 10 94. 2
√
2
95. (a) 6pi (b) −18pi 96. 40
3
97. pi
98. 0 99. 76pi 100. −12 101. pi
15
(890 + 3
√
2)
102. (a) div ~E = 0; (b) 4piq; (c) 0; (d) 4piq.
103. −5
6
104. −pi 105. 0