Erro de Estado Estacionário em Sistemas de Controle

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Erro de Estado Estacionário
Introdução
❑ Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos fatores:
✓ Alterações na entrada de referência; 
✓ Imperfeições nos componentes do sistema, como atrito estático, folga e 
mau funcionamento de amplificadores; 
✓ Desgaste ou deterioração do sistema. 
❑ Vamos estudar um tipo de erro estacionário que é causado pela 
incapacidade de um sistema em seguir determinados tipos de sinais de 
entrada;
❑ Sistemas de controle físico apresentam, inerentemente, erros estacionários 
na resposta a certos tipos de entradas; 
❑ Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma entrada 
degrau, mas o mesmo sistema pode apresentar um erro estacionário não-
nulo a uma entrada rampa.
Introdução
❑ Considere o sistema com realimentação unitária, com a seguinte função de 
transferência de malha aberta G(s): 
❑ A função de transferência da equação (1) contém o termo sN no 
denominador;
❑ A classificação será realizada com base no número de integrações indicadas 
pela função de transferência de malha aberta(G(s));
❑ Um sistema é denominado de Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2,· · · , se N = 0, N = 1, 
N = 2, · · · , respectivamente;
❑ Note que a classificação é diferente da que se refere à ordem do sistema;
❑ Conforme N aumenta, a precisão aumenta, mas por outro lado agrava a 
estabilidade do sistema;
❑ É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime permanente 
e estabilidade.
Introdução
Erro Estacionário em termo de T(s)
(Malha sem realimentação)
❑ Considere o sistema abaixo:
(2)
(3)
(4)
❑ Aplicando o Teorema do Valor Final na equação (4) temos:
Erro Estacionário em termo de T(s)
(Malha sem realimentação)
Exemplo 1: Determinar o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado 
abaixo com T(s) = 5/(s2 + 7s + 10) e uma entrada degrau unitário.
Solução:
Para uma entrada u(t) (degrau 
unitária) temos no domínio da 
frequência U(s) = 1/s
Aplicando o TVF temos:
Erro Estacionário em termo de G(s)
(Realimentação unitária)
❑ Considere o sistema abaixo:
E.G 𝑮(𝒔)
𝟏 + 𝑮(𝒔)
𝑹.
𝑮
𝟏 + 𝑮
C(s)=E(s).G(s) (5) 
C(s)= 𝑹(𝒔)
𝑮(𝒔)
𝟏+𝑮(𝑺)
(6) 
Igualando (5) e (6) 𝐄 𝐬 . 𝐆 𝐬 = 𝑹(𝒔)
𝑮(𝒔)
𝟏 + 𝑮(𝒔)
𝐄 𝐬 = 𝑹(𝒔)
𝟏
𝟏 + 𝑮(𝒔)
❑ Aplicando o TVF para encontrar o erro de regime (estado estacionário):
❑ O erro depende do tipo de sinal de entrada aplicado no sistema;
❑ Define-se algumas constantes de erro estático , relacionado ao tipo de erro 
devido a um tipo de entrada;
❑ As constantes de erro estáticos abordadas neste estudo serão: 
✓ Kp constante de posição; 
✓ Kv constante de velocidade; 
✓ Ka constante de aceleração;
❑ As expressões deduzidas para o cálculo do erro estacionário podem ser 
aplicadas erroneamente aos sistemas instáveis. Assim, deve-se verificar a 
estabilidade do sistema. 
❑ Constante de Erro Estático de Posição Kp.
O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em degrau é:
A constante de erro estático de posição Kp é definida como:
Então, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro 
estático de posição Kp é dado como:
✓ Para um sistema TIPO 0, N=0: (sem integrador no denominador de G(s))
Então
✓ Para um sistema TIPO 1 ou maior (N≥ 𝟏):
𝑒𝑠𝑠 =
1
1 + 𝐾𝑝
= 0
𝑒𝑠𝑠 =
1
1 + 𝐾
Conclusão
Para um sistema do Tipo 0, a constante de erro estático de posição Kp é 
finita, enquanto para um sistema do Tipo 1 ou maior Kp é infinita, então:
𝑒𝑠𝑠 =
1
1 + 𝐾𝑝
, para sistemas TIPO 0
𝑒𝑠𝑠 = 0, para sistemas TIPO 1 ou maior
❑ Constante de Erro Estático de Velocidade Kv.
O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em Rampa é:
A constante de erro estático de velocidade Kv é definida como:
Então, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro 
estático de velocidade Kv é dado como:
✓ Para um sistema TIPO 0, N=0: (sem integrador no denominador de G(s))
✓ Para um sistema TIPO 1:
✓ Para um sistema TIPO 2 ou maior (N≥ 𝟐):
Conclusão
Em resumo, o erro estacionário ess para uma entrada rampa unitária pode 
ser descrito da seguinte maneira:
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑣
= ∞, para sistemas TIPO 0
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑣
=
1
𝐾
, para sistemas TIPO 1
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑣
= 0, para sistemas TIPO 2 ou maior
❑ Constante de Erro Estático de Aceleração Ka.
E sua transformada de Laplace é:
Uma entrada tipo parábola é definido como:
ℒ 𝑟(𝑡) =
1
𝑠3
O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada parábola:
A constante de erro estático de aceleração Ka é definida como:
Então, o erro de estado estacionário em termos da constante de erro 
estático de aceleração Ka é dado como:
✓ Para um sistema TIPO 0, N=0: (sem integrador no denominador de G(s))
✓ Para um sistema TIPO 1:
✓ Para um sistema TIPO 2:
✓ Para um sistema TIPO 3 ou maior:
Conclusão
Assim o erro em regime para uma entrada do tipo parábola pode ser 
resumido da seguinte forma:
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑎
= ∞, para sistemas TIPO 0
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑎
= 0, para sistemas TIPO 3 ou maior
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑎
=
1
𝐾
, para sistemas TIPO 2
𝑒𝑠𝑠 =
1
𝐾𝑎
= ∞, para sistemas TIPO 1
RESUMO
Exercício
Encontre os erros de estado estacionário para as seguintes entradas: 5.u(t), 
5t.u(t) e 5t2.u(t), aplicadas no sistema ilustrado abaixo: 
Para a entrada 5u(t)
Para a entrada 5t.u(t)
Para a entrada 5t2.u(t)=(10t2/2).u(t)
e(∞) =
10
0
= ∞
Erro Estacionário em termo de G(s)
(Realimentação não unitária)
❑ Em sistemas de controle podemos observar frequentemente realimentações 
que não são unitárias. Um diagrama de bloco de um sistema de controle 
generalizado é ilustrado a seguir.
Erro Estacionário em termo de G(s)
(Realimentação não unitária)
❑ Na figura anterior 
podemos facilmente 
verificar que a 
realimentação não é 
unitária, pois existe um 
H(s) no ramo de retroação. 
O procedimento para 
reorganizar o diagrama de 
blocos objetivando-se que 
o sistema tenha 
realimentação unitária é 
descrito a seguir:
1) Soma-se e subtrai uma realimentação 
unitária no sistema conforme abaixo:
Erro Estacionário em termo de G(s)
(Realimentação não unitária)
2) Simplifica-se H(s) com a 
realimentação negativa conforme 
descrito a seguir:
3) Simplifica-se H(s) − 1 com G(s) de 
acordo com a ilustração abaixo: 
Exemplo Considere o sistema ilustrado abaixo, determine o tipo do sistema, 
a constante de erro associada ao tipo de sistema e o erro estacionário para 
uma entrada degrau unitário.
comparando
Solução:
Assim temos:
A função transferência equivalente para realimentação unitária é:
Portanto, o sistema é Tipo 0, isto é, não possui nenhuma integração na malha 
direta. Deste modo, a constante de erro estático apropriada é, então, Kp, cujo 
valor é:
Logo o erro de estado estacionário vale,
O valor negativo do erro de estado estacionário implica que o degrau de 
saída é maior que o degrau de entrada.
Erro Estacionário para Sistemas com Distúrbio
❑ Em geral utiliza-se sistema de controle com realimentação para atenuar o 
efeito do sinal de distúrbio na saída do sistema. 
E.G1
C
Erro Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Assim temos:
Igualando as expressões acima:
Erro Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Assim podemos determinar o erro de estado estacionário aplicando o Teorema 
do Valor Final (T.V.F.) da seguinte maneira:
𝑒𝑅 𝑒𝐷
Erro devido ao sinal de 
entrada
Erro devido ao sinal de 
distúrbio
Erro Estacionário para Sistemas com Distúrbio
Analisando o erro devido ao sinal de distúrbio considerando o sinal de 
distúrbio como um degrau unitário temos:
Então, o erro estacionário pode ser reduzido pela diminuição da 
magnitude de G2(s) e pelo aumento da magnitude de G1(s). 
Exemplo Encontre o erro de estado estacionário para o sistema ilustrado a 
seguir. Neste caso é considerado um sinal de distúrbio como um degrau: