Erro de Regime Permanente

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P R O F . C A R O L I N A R I B E I R O R O D R I G U E S
Controle 1
Erro de Regime Permanente
 Introdução – Erros em Regime Permanente (Erros estacionários)
 Classificação dos Sistemas de Controle
 Erros Estacionários
 Erro Estacionário em Termos de 𝑇(𝑠)
 Erro Estacionário em Termos de 𝐺(𝑠)
 Especificações de Erro em Regime Permanente
 Erro para Sistema com Realimentação Não Unitária
 Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados
Resumo
 Erro Estacionário
O erro em regime permanente é a diferença entre a entrada e a saída 
para uma entrada de teste prescrita quando o 𝑡 → ∞
Introdução
 A nossa discussão é limitada aos sistemas estáveis, nos quais a 
resposta natural tende a zero à medida que o tempo tende ao infinito.
 Os sistemas instáveis representam perda de controle em regime 
permanente e são absolutamente inaceitáveis para utilização.
Introdução
Entrada Degrau:
Saída 1: erro nulo;
Saída 2: erro finito.
Entrada Rampa:
Saída 1: erro nulo;
Saída 2: erro finito;
Saída 3: erro infinito.
Exemplos de Erros em Regime Permanente
 Os erros em um sistema de controle podem ser atribuídos a muitos 
fatores:
 Alterações na entrada de referência,
 Imperfeições nos componentes do sistema, como atrito estático,
 Folga e mau funcionamento de amplificadores,
 Desgaste ou deterioração do sistema.
 Qualquer sistema de controle físico apresenta, inerentemente, 
erros estacionários na resposta a certos tipos de entradas.
 Um sistema pode não apresentar um erro estacionário a uma 
entrada degrau, mas o mesmo sistema pode apresentar um erro 
estacionário não-nulo a uma entrada rampa.
Exemplos de Erros em Regime Permanente
 Os sistemas de controle podem ser classificados de acordo 
com a habilidade em seguir os sinais de entrada em 
degrau, em rampa, em parábola, etc.
 Considere o sistema com realimentação unitária, com a 
seguinte função de transferência de malha aberta 𝐺(𝑠):
 A função de transferência contém o termo 𝑠𝑁 no 
denominador,
1 2
( 1)( 1)...( 1)
( )
( 1)( 1)...( 1)
a b m
N
p
K T s T s T s
G s
s T s T s T s
  

  
Classificação dos Sistemas de Controle
 A classificação será realizada com base no número de integrações
(integradores – 1/𝑠) indicadas pela função de transferência de malha 
aberta,
 Um sistema é denominado de Tipo 0, Tipo 1, Tipo 2, ... , se 𝑁 = 0, 
𝑁 = 1, 𝑁 = 2, ... , respectivamente,
 Note que a classificação é diferente da que se refere à ordem do 
sistema,
 Conforme 𝑁 aumenta, a precisão aumenta, mas por outro lado agrava 
a estabilidade do sistema,
 É sempre necessária uma conciliação entre precisão em regime
permanente e estabilidade.
Classificação dos Sistemas de Controle
Considere a figura abaixo:
Neste caso temos que:
( ) ( )
( )
( ) 1 ( )
C s G s
T s
R s G s
 

Erro Estacionário em Termos de T(s)
Para o sistema (𝑎), temos:
Mas,
Substituindo a equação acima na primeira, resulta em
 Aplicando o Teorema do Valor Final, pois estamos interessados no 
valor final do erro, 𝑒(∞) , tem-se:
( ) ( ) ( )C s R s T s
 )( )) ( 1 (R sE s T s 
 
0
0
( )( ) lim ( ) lim
(( ) ) 1 ( )lim
t s
s
e e t s
e
E
s
s
R s T s
 



 
 
( ) ( ) ( )E s R s C s 
Erro Estacionário em Termos de T(s)
 Exemplo 1: Determine o erro em regime permanente para o 
sistema (𝑎), ilustrado anteriormente, para uma entrada em 
degrau unitário. Considere 
2
5
( )
7 10
T s
s s

 
Erro Estacionário em Termos de T(s)
Solução: Temos que 𝑅 𝑠 = 1/𝑠. Substituindo 𝑇(𝑠) e 𝑅(𝑠) na 
equação de erro, obtemos:
 Uma vez que 𝑇(𝑠) é estável e, subsequentemente, 𝐸(𝑠) não 
tem polos no semiplano da direita, nem polos 𝑗𝜔 que não 
estejam na origem, podemos aplicar o teorema do valor final.
 
2
2 2
1 5 7 5
1
7 1
(
0 7 10
)
s s
s s s s s s
E s
  
       
 
2
20
7 5
( ) lim 0,5
7 10s
s s
e s
s s s
 
  
 
Erro Estacionário em Termos de T(s)
 Verificação com a ajuda do MatLab®
Erro de 0,5
para uma 
entrada 
em degrau 
unitário
Erro Estacionário em Termos de T(s)
Considere o sistema (𝑏) ilustrado anteriormente. Temos que
Mas,
Resolvendo para 𝐸(𝑠), resulta em
Logo, 𝐸(𝑠) é o erro entre a entrada, 𝑅(𝑠), e a saída, 𝐶(𝑠).
( ) ( ) ( )E s R s C s 
( ) ( ) ( )C s E s G s
)
(
)
)
(
1 (
R s
E s
G s


Erro Estacionário em Termos de G(s)
Aplicando o Teorema do Valor Final e admitindo que o sistema de 
malha fechada seja estável, obtemos
 Deste modo, o erro depende do tipo de sinal de entrada, 𝑅(𝑠), 
aplicado no sistema e do sistema de malha aberta, 𝐺(𝑠);
0
( ) li
(
(
m
)
1 )s
e s
R s
G s 
 
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 1º Entrada Degrau: 𝑅(𝑠) = 1/𝑠
O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em
degrau é:
A constante de erro estático de posição 𝐾𝑝 é definida como:
0
0
1
( ) lim
1 ( ) 1 lim
/
)
1
(s
s
e s
G
s
s G s

  
 
0
lim ( ) (0)P
s
K G s G

 
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Logo, o erro estacionário em função de 𝐾𝑝 é dado por
Para termos erro nulo em regime permanente,
0
lim ( )P
s
K G s

  
1
( )
1 p
e
K
 

Erro Estacionário em Termos de G(s)
Sistema Tipo 0
erro finito
Sistema Tipo 1 ou maior
erro nulo
0 0 0
1 2
( 1)( 1)...
lim ( ) lim
( 1)( 1)...
a b
P
s s
K T s T s
K G s K
s T s T s 
 
  
 
1 1
( )
1 1p
e
K K
  
 
0 0
1 2
( 1)( 1)...
lim ( ) lim , para 1
( 1)( 1)...N
a b
P
s s
K T s T s
K G s N
s T s T s 
 
    
 
1 1
( ) 0
1 1p
e
K
   
 
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 CONCLUSÃO:
 Sistemas Tipo 0, em regime estacionário, podem seguir a entrada em
degrau com um erro finito.
 Sistemas Tipo 1 ou maior podem seguir uma entrada em degrau, em
regime estacionário, com erro nulo.
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 2º Entrada Rampa: 𝑅(𝑠) = 1/𝑠2
O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em
rampa é:
A constante de erro estático de velocidade 𝐾𝑣 é definida como:
2
0 0
0
1 1
( ) lim lim
1 ( ) ( ) lim (
1
)
/
s s
s
e s
G s s sG s G s
s
s 

   
 
0
lim ( )v
s
K sG s


Erro Estacionário em Termos de G(s)
Logo, o erro estacionário em função de 𝐾𝑣 é dado por
Para termos erro nulo em regime permanente,
0
lim ( )v
s
K sG s

  
1
( )
v
e
K
 
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Sistema Tipo 0
erro infinito
Sistema Tipo 1
erro finito
0
1 2
00
( 1)( 1)...
lim ( ) lim 0
( 1)( 1)...
a b
v
s s
K T s T s
K sG s s
s T s T s 
 
  
 
1 1
( )
0v
e
K
    
0 0
1 2
1
( 1)( 1)...
lim ( ) lim ,
( 1)( 1)...
a b
v
s s
K T s T s
K sG s s K
s T s T s 
 
  
 
1 1
( )
v
e
K K
  
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Sistema do Tipo 2 ou maior
erro nulo
0 0
1 2
( 1)( 1)...
lim ( ) lim , para 2
( 1)( 1)...N
a b
v
s s
K T s T s
K sG s s N
s T s T s 
 
    
 
1 1
( ) 0
v
e
K
   

Erro Estacionário em Termos de G(s)
 CONCLUSÃO:
 Um sistema do Tipo 0 é incapaz de seguir, em regime estacionário,
uma entrada em rampa.
 Um sistema de Tipo 1 com realimentação unitária pode seguir a
entrada em rampa com um erro finito.
 Já um sistema de Tipo 2 ou maior pode seguir uma entrada em
rampa, em regime estacionário, com erro nulo.
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 3º Entrada em Parábola: 𝑅(𝑠) = 1/𝑠3
O erro de estado estacionário do sistema para uma entrada em
parábola é:
A constante de erro estático de aceleração 𝐾𝑎 é definida como:
3
2 2 20 0
0
1 1
( ) lim lim
1 ( ) ( ) lim
/
)
1
(s s
s
e s
G
s
s s s G s s G s 

   
 
2
0
lim ( )a
s
K s G s


Erro Estacionário em Termos de G(s)
Logo, o erro estacionário em função de 𝐾𝑎 é dado por
Para termos erro nulo em regime permanente,
2
0
lim ( )a
s
K s G s

  
1
( )
a
e
K
 
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Sistemas Tipo 0 ou Tipo1
erro infinito
Sistemas Tipo 2
erro finito
2 2
0 0
1 2
( 1)( 1)...
lim ( ) lim 0, para 0 ou 1
( 1)( 1)...N
a b
a
s s
K T s T s
K s G s s N
s T s T s 
 
   
 
1 1
( )
0a
e
K
    
0
1 2
2
2 2
0
( 1)( 1)...
lim ( ) lim
( 1)( 1)...
a b
a
s s
K T s T s
K s G s s K
s T s T s 
 
  
 
1 1
( )
a
e
K K
  
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Sistema do Tipo 3 ou maior
erro nulo
2 2
0 0
1 2
( 1)( 1)...
lim ( ) lim para 3
( 1)( 1)...N
a b
a
s s
K T s T s
K s G s s N
s T s T s 
 
    
 
1 1
( ) 0
a
e
K
   

Erro Estacionário em Termos de G(s)
 CONCLUSÃO:
 Os sistemas do Tipo 0 ou Tipo 1 são incapazes de seguir, em regime
estacionário, uma entrada em parábola.
 O sistema de Tipo 2 com realimentação unitária pode seguir a
entrada em parábola com um erro finito .
 Já o sistema de Tipo 3 ou maior pode seguir uma entrada em
parábola, em regime estacionário, com erro nulo.
Erro Estacionário em Termos de G(s)
As constantes de erro estático são:
 𝐾𝑃 constante de posição (entrada degrau)
 𝐾𝑣 constante de velocidade (entrada rampa)
 𝐾𝑎 constante de aceleração (entrada parábola)
 Quanto mais alta as constantes, menor o erro estacionário.
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 Exemplo 2: Determine os erros em regime permanente para as 
entradas de 5𝑢(𝑡), 5𝑡𝑢(𝑡) e 5𝑡2𝑢(𝑡) para o sistema. A função 𝑢(𝑡)
é o degrau unitário.
Tipo 0( )G s
Erro Estacionário em Termos de G(s)
Solução: Primeiro foi verificado que o sistema de malha fechada é 
estável. Portanto, podemos analisar os erros estacionários.
 Para 5𝑢 𝑡 → 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 → 5/𝑠
1 22
120 240
( ) , 124,98 e 2,02
127 252
s
T s p p
s s

    
 
0
0
5 5 5
( ) lim
1 ( ) 1 lim ( ) 1 1
5 /
20 2s
s
e s
G s G s
s


    
  
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 Para 5𝑡𝑢 𝑡 → 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 → 5/𝑠2
 Para 5𝑡2𝑢(𝑡) → 𝐿𝑎𝑝𝑙𝑎𝑐𝑒 → 10/𝑠3
0 0
2
0
5 5 5
( ) lim lim
1 ( ) ( ) lim ( )
5 /
0s s
s
e s
G s s sG s sG s
s
 

      
 
2 2 20
0
3
0
10 10 10
( ) lim lim
10 /
1 ( ) ( ) lim ( ) 0s s
s
e s
G s s s G s s G
s
s 

      
 
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 Exercício 1: Determine os erros em regime permanente para as 
entradas de 5𝑢(𝑡), 5𝑡𝑢(𝑡) e 5𝑡2𝑢(𝑡) para o sistema. A função 𝑢(𝑡) é o 
degrau unitário.
Tipo 1
Resposta: 𝑒(∞)𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 = 0; 𝑒(∞)𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 =
1
20
; 𝑒(∞)𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = ∞.
( )G s
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 Exercício 1: Verificação com a ajuda do MatLab®
 Entrada Degrau
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 Exercício 1: Verificação com a ajuda do MatLab®
 Entrada Rampa
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 Exercício 1: Verificação com a ajuda do MatLab®
 Entrada Parábola
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 Exercício 2: Um sistema com realimentação unitária possui a 
seguinte função de transferência à frente:
a) Determine os erros em regime permanente para as entradas de 
15𝑢(𝑡), 15𝑡𝑢(𝑡) e 15𝑡2𝑢(𝑡).
b) Repita para
Resposta: a) 𝑒(∞)𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 = 0; 𝑒(∞)𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 = 2,1875; 𝑒(∞)𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = ∞.
b) O sistema em malha fechada é instável. Os cálculos não podem ser 
realizados.
  
  
10 20 30
( ) ,
25 35
s s
G s
s s s
 

 
  
   2
10 20 30
( ) ,
25 35 50
s s
G s
s s s s
 

  
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 Exercício 3: Para o sistema, calcule as constantes de erro 
estático, 𝐾𝑃, 𝐾𝑣 e 𝐾𝑎, e obtenha o erro esperado para as 
entradas padronizadas em degrau, em rampa e em parábola.
Resp.: 𝐾𝑃 = ∞, logo 𝑒(∞)𝑑𝑒𝑔𝑟𝑎𝑢 = 0; 
𝐾𝑣 = ∞, logo 𝑒(∞)𝑟𝑎𝑚𝑝𝑎 = 0;
𝐾𝑎 = 875, logo 𝑒(∞)𝑝𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = 1,14 × 10
−3.
Erro Estacionário em Termos de G(s)
 As constantes de erro estático, 𝐾𝑃, 𝐾𝑣 e 𝐾𝑎 podem ser utilizadas 
como especificações para os erros em regime permanente de 
sistemas de controle.
Por exemplo, se considerarmos 𝐾𝑣 = 1000, podemos tirar
diversas conclusões:
1. O sistema é estável;
2. O sistema é do Tipo 1, uma vez que apenas esses sistemas 
possuem 𝐾𝑣 com um valor constante finito;
3. Uma entrada em rampa é o sinal de teste. Como 𝐾𝑣 é 
especificado como uma constante finita e o erro em regime 
permanente para uma entrada em rampa é inversamente 
proporcional a 𝐾𝑣, sabemos que o sinal de teste é uma rampa;
4. O erro estacionário para a entrada rampa é 1/𝐾𝑣.
Especificações de Erro em Regime Permanente
 Exemplo 3: Projeto de ganho para Atender a uma Especificação 
de Erro em Regime Permanente.
Dado o sistema de controle, determine o valor de 𝐾 de modo que 
haja um erro de 10% em regime permanente.
Solução: O sistema é do Tipo 1 (1 integrador - 1/𝑠).
Apenas uma rampa leva a um erro finito em um sistema do Tipo 1. 
Assim,
 
1
( ) 0,1 10%
v
e
K
  
Especificações de Erro em Regime Permanente
Portanto,
 Aplicando o critério de Routh-Hurwitz, verificamos que o sistema é 
estável com este ganho. 
 Embora este ganho atenda aos 
critérios de erro em regime
permanente e estabilidade, 
ele pode não resultar em 
uma resposta transitória 
desejável.
0
5
10 lim ( )
6 7 8
672
v
s
K
K sG s
K


  
 

Especificações de Erro em Regime Permanente
Erro de 0,1
Entrada
Saída
 Exercício 4: Um sistema com realimentação unitária possui a 
seguinte função de transferência à frente:
Determine o valor de 𝐾 para resultar em um erro de 10% em regime 
permanente. Resposta: 𝐾 = 189
Resolvendo no MatLab®:
numg=[1 12]; % Define o numerador de G(s).
deng=poly([-14 -18]); % Define o denominador de G(s).
G=tf(numg,deng) ; % Cria G(s).
Kpdk=dcgain(G); % Calcula Kpdk=numg/deng para s=0.
estep=0.1; % Erro de 10%.
K=(1/estep-1)/Kpdk % Calcula K.
T=feedback(G,1); % Calcula sist. malha fechada.
poles=pole(T) % Polos de T(s)
 
  
12
( ) ,
14 18
K s
G s
s s


 
Especificações de Erro em Regime Permanente
Em sistemas de controle podemos observar frequentemente 
realimentações que não são unitárias. Um diagrama de bloco de um 
sistema de controle generalizado é ilustrado a seguir.
Deslocando 𝐺1(𝑠) para o lado direito do somatório, temos:
sendo:
1 2( ) ( ) ( )G s G s G s
1
1
( )
( )
( )
H s
H s
G s

Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária
Na figura anterior podemos facilmente verificar que a realimentação 
não é unitária, pois existe um 𝐻(𝑠) no ramo de retroação. O 
procedimento para reorganizar o diagrama de blocos objetivando-se 
que o sistema tenha realimentação unitária é descrito a seguir:
1) Soma-se e subtrai uma realimentação unitária no sistema 
conforme abaixo:
Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária
2) Simplifica-se 𝐻(𝑠) com a realimentação negativa conforme 
descrito a seguir:
3) Simplifica-se 𝐻(𝑠) − 1 com 𝐺(𝑠) de acordo com a ilustração 
abaixo, e obtenha a realimentação unitária:
Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária
 Exemplo 4: Considere o sistema, determine o tipo do sistema, a
constante de erro associada ao tipo de sistema e o erro estacionário 
para uma entrada degrau unitário.
Solução: Primeiro foi verificado que o sistema é estável. Para este 
exemplo, temos: 100 1
( ) , ( )
( 10) ( 5)
G s H s
s s s
 
 
Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária
Convertendo este sistema para um equivalente de retroação unitária
O sistema é do Tipo 0, isto é, não possui nenhuma integração na 
malha direta.
A constante de erro estático apropriada é 𝐾𝑝
3 2
( ) 100( 5)
( )
1 ( ) ( ) ( ) 15 50 400
e
G s s
G s
G s H s G s s s s

 
    
0
100 5 5
lim ( )
400 4
p e
s
K G s


   

Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária
O erro em regime permanente
O valor negativo para o erro de estado estacionário implica que o 
degrau de saída é maior do que o degrau de entrada.
Erro de −4 para 
uma entrada em 
degrau unitário
1 1
( )4
1 1 ( 5 / 4)p
e
K
    
  
Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária
Exercício 5: Para cada um dos sistemas, determine:
a) O tipo do sistema; 
b) A constante de erro estático apropriada;
c) A forma de onda de entrada que resulta em um erro constante;
d) O erro em regime permanente para uma entrada unitária da 
forma de onda obtida no Item c).
Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária
Respostas:
Sistema 1:
a) Tipo 0;
b) 𝐾𝑝;
c) Entrada degrau;
d)
3
4
.
Sistema 2:
a) Tipo 1;
b) 𝐾𝑣;
c) Entrada rampa;
d) 1,02.
Erro para Sistemas com Realimentação Não Unitária
Analise através do Teorema do Valor Final
Considere um sistema com uma função de transferência em malha 
fechada de entrada única e saída única representado no espaço de 
estados:
A transformada de Laplace do erro é
Mas
Sendo T(s) a função de transferência em malha fechada.
( ) ( ) ( )E s R s Y s 
( ) ( ) ( )Y s R s T s
Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados
 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑥 𝑡 + 𝐵𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = 𝐶𝑥 𝑡
Substituindo, temos
Aplicando o Teorema do Valor Final, temos
 
 
1
( ) ( ) 1 ( )
( ) ( ) 1
E s R s T s
E s R s C sI A B

 
  
 
 
0
1
0
lim ( ) lim ( ) 1
s s
sE s s C I A BR s s

 
  
 
Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados
 Exemplo 5: Calcule o erro em regime permanente para o sistema 
para entradas em degrau unitário e em rampa unitária.
Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados
 𝑥 𝑡 =
−5 1 0
0 −2 1
20 −10 1
𝑥 𝑡 +
0
0
1
𝑢 𝑡
𝑦 𝑡 = −1 1 0 𝑥 𝑡
Solução: Substituindo as matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 em
 
0
3 20
3 2
3 2
1
0
( ) lim ( ) 1
4
( ) lim ( ) 1
6 13 20
6 12 16
( ) lim (
0 0 5 1 0 0
1 1 0 0 0 0 2 1 0
0 0
)
6 13 20
20 10 1 1
s
s
s
e sR s
s
e sR s
s s s
s s s
e sR s
s
s
s
s
s s




 
 
   

       
      
        
           

  
 
   
   
   
   
   

Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados
Para a entrada em degrau:
Para a entrada em rampa:
3 2
3 20
6 12 16 16 4
( ) lim
6 13 20 20 5
1
s
s s s
e s
ss s s
   
    
   
Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados
3
3 22
2
0
6 12 16 16
( ) lim
6 13
1
20 0s
s s s
e s
s s ss
   
     
   
Resolvendo no MatLab® para uma entrada em degrau:
syms s
A = [-5 1 0; 0 -2 1; 20 -10 1];
B = [0 0 1]';
C = [-1 1 0];
I = eye(3);
E = (1/s)*[1-C*[(s*I-A)^-1]*B]
% Novo comando:
% subs(X, velho, novo);
% Substitui velho em X(velho com novo.
error = subs(s*E,s,0)
Erro em Regime Permanente para Sistemas no Espaço de Estados