area03_03_10 6_prob nao_homog

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Boyce/DiPrima 9ª ed.
10.6: Outros problemas de condução do calor
Na seção 10.5 estudamos o seguinte problema de condução do calor:
Que possui solução
Observe que se f for limitada os coeficientes c
n
 serão limitados, então 
pela presença da exponencial com coeficientes negativos, temos que
 
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu txx



0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
    



L
n
n
tLn
n dxLxnxfL
cLxnectxu
0
1
)/( /sin)(
2
,/sin),(
2

0),(lim 

txu
t
Condições de Fronteira (ou Contorno)
 Não-homogeneas (1 de 5)
Consideramos agora o problema de condução de calor com 
condições de fronteira não homogêneas:
Nós resolvemos esse problema, reduzindo-o a um problema com 
condições de fronteira homogêneas.
O problema homogêneo é então resolvido como na seção 10.5.
A técnica para reduzir esse problema para um homogêneo é 
sugerida por um argumento físico, conforme apresentado nos 
slides a seguir.
Lxxfxu
tTtLuTtu
tLxuu txx



0),()0,(
0,),(,),0(
0,0,
21
2
Estado Estacionário da distribuição de 
temperatura (2 de 5) 
Após um longo período de tempo (ou seja, t → ∞), antecipamos 
que será alcançada uma distribuição de temperatura constante 
v(x), que é independente do tempo t e das condições iniciais.
Uma vez que v(x) deve satisfazer a equação de condução de 
calor,
temos
Além disso, v (x) deve satisfazer as condições de contorno
Resolvendo para v (x), obtemos
,0,2 Lxuu txx 
Lxxv  0,0)(
21 )(,)0( TLvTv 
  112)( TL
x
TTxv 
Distribuição de Temperatura Transiente (3 de 5)
Voltando ao problema original, tentaremos expressar u(x, t) como 
a soma da distribuição de temperatura no estado estacionário v(x) 
e outra (transiente) distribuição de temperatura w(x, t). Portanto
Uma vez que temos uma expressão para v(x), resta encontrar 
w(x, t).
Primeiro, encontramos o problema de valores de contorno para 
w(x, t) da seguinte maneira.
Substituindo u (x, t) = v (x) + w (x, t) em α2u
xx
 = u
t
, obtemos 
α2w
xx
 = w
t
, desde que v
xx
 = v
t
 = 0.
Em seguida, w (x, t) satisfaz as condições de fronteira e inicial
),()(),( txwxvtxu 
)()()()0,()0,(
0)(),(),(
0)0(),0(),0(
22
11
xvxfxvxuxw
TTLvtLutLw
TTvtutw



Solução Transiente (4 de 5)
• Portanto, o problema de valores de contorno para w(x,t) é
onde
• Da Seção 10.5, a solução deste problema é
onde 
Lxxvxfxw
ttLwtw
tLxww txx



0),()()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
 



1
)/( /sin),(
2
n
tLn
n Lxnectxw 

    






L
n dxLxnTL
x
TTxf
L
c
0 112
/sin)(
2

  112)( TL
x
TTxv 
Solução Não-homogenea (5 de 5)
Lembre-se do nosso problema de valores de contorno não 
homogêneo original:
Assim, a solução u (x, t) = v (x) + w (x, t) é dada por
onde
   



1
)/(
112 /sin),(
2
n
tLn
n LxnecTL
x
TTtxu 
    






L
n dxLxnTL
x
TTxf
L
c
0 112
/sin)(
2

Lxxfxu
tTtLuTtu
tLxuu txx



0),()0,(
0,),(,),0(
0,0,
21
2
Exemplo 1: Problema de condução de calor 
não-homogêneo (1 de 3)
Considere o problema de condução de calor não homogêneo
A temperatura estacionária satisfaz v '' (x) = 0 e as condições de 
contorno v (0) = 20 e v (30) = 50. Assim v (x) = x + 20.
A distribuição de temperatura transiente w (x, t) satisfaz o 
problema de condução de calor homogêneo
300,260)0,(
0,50),30(,20),0(
0,300,



xxxu
ttutu
txuu txx
    300,34020260)0,(
0,0),30(,0),0(
0,300,2



xxxxxw
ttwtw
txww txx
Exemplo 1: Solução (2 de 3)
A solução não homogênea u(x, t) é dada pela soma da 
distribuição de temperatura no estado estacionário v(x) e a 
distribuição de temperatura transiente w(x, t).
Portanto
onde
    
30
0
30/sin340
15
1
dxxnxcn 
 



1
)30/( 30/sin20),(
2
n
tn
n xnecxtxu 

Barra com extremidades isoladas (1 de 11)
Suponha agora que as extremidades da barra estejam isoladas de 
modo que não haja passagem de calor através delas.
Pode ser mostrado (ver Apêndice A deste capítulo) que a taxa de 
fluxo de calor em uma seção transversal é proporcional à taxa de 
mudança de temperatura na direção x.
Assim, no caso de nenhum fluxo de calor na fronteira, nosso 
problema de valores de contorno toma a forma
Este problema pode ser resolvido usando o método de separação 
de variáveis, conforme examinamos a seguir.
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu
xx
txx



0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Método da separação de variáveis (2 de 11)
Como na Seção 10.5, começamos assumindo
Substituindo isso em nossa equação diferencial
nós obtemos
ou
onde λ é uma constante, como na Seção 10.5.
Consideramos as condições de contorno.
)()(),( tTxXtxu 
txx uu 
2
TXTX 2
,0
01
22 





TT
XX
T
T
X
X




Condições de Fronteira (3 de 11)
Lembre-se do nosso problema original
Substituindo u (x, t) = X (x) T (t) na condição de limite em x = 0,
Uma vez que estamos interessados em soluções não triviais, 
exigimos X '(0) = 0 em vez de T (t) = 0 para t> 0. Similarmente, 
X' (L) = 0.
Portanto, temos o seguinte problema de valores de contorno
0)()0(),0(  tTXtux
0)()0(,0  LXXXX 
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu
xx
txx



0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
Problema de valores de contorno para λ < 0 (4 de 11)
Assim, devemos resolver o problema de valores de contorno
Suponha λ <0, e faça λ = -μ2, onde μ é real e positivo.
Então nossa equação torna-se
Cuja solução geral é
X(x)=C
1
eμx+C
2
e-μx
Neste caso, as condições de contorno requerem C
1
 = C
2
 = 0 e, 
assim, a única solução é trivial.
Portanto, λ não pode ser negativo. 
0)()0(,02  LXXXX 
0)()0(,0  LXXXX 
Problema de valores de contorno para λ = 0 (5 de 11)
Nosso problema de valores de contorno é
Suponha que λ = 0. Então nossa equação se torna
Cuja solução geral é
A partir das condições de contorno, k
1
 = 0 e k
2
 não é 
determinado.
Portanto, para λ= 0 a solução é a função X(x) = 1.
Além disso, a partir da equação abaixo, T (t) = k
3
, com k
3
 uma 
constante.
Segue-se que u(x, t) = C, onde C = k
2
k
3
 é uma constante.
0)()0(,0  LXXX
0)()0(,0  LXXXX 
21)( kxkxX 
02  TT 
Problema de valores de contorno para λ > 0 (6 de 11)
Nosso problema de valores de contorno é
Suponha que λ > 0, e faça λ =μ2, onde μ é real e positivo.
Então nossa equação torna-se
Cuja solução geral é
Calculando a derivada desta função X, temos que 
X’(x)=μ[k
1
cos(μx)-k
2
sen(μx)]
Usando X’(0)=0, temos que k
1
 = 0, 
Usando X’(L)=0, temos que sen(μL)=0 ou k
2
 = 0 , como queremos 
uma solução não-trivial, vamos escolher μ tal que sen(μL)=0, ou 
seja, μL=nπ, para n=1,2,… Logo, temos que ter λ
n
=(nπ/L)2, para 
n=1,2,…, para ter uma solução não trivial. Para os outros valores de 
λ só temos X(x)=0 como solução.
No caso de λ
n
=(nπ/L)2 a solução é X(x)= k
2 
cos(nπx/L), para n=1,2,
… Como k
2
 é abitrário podemos fazer X(x)=cos(nπx/L), para n=1,2,…
0)()0(,02  LXXXX 
0)()0(,0  LXXXX 
xkxkxX  cossin)( 21 
Soluções Fundamentais (7 de 11)
Para λ
n
=(nπ/L)2, a equação
tem solução
Combinando todos esses resultados, temos as seguintes soluções 
fundamentais para o nosso problema original:
Onde foram omitidas constantes arbitrárias de proporcionalidade.
02  TT 
constant. ,
2)/(
n
tLn
nn kekT

  ,,2,1,/cos),(
,1),(
2)/(
0


 nLxnetxu
txu
tLn
n 

Condição Inicial (8 de 11)
Como a equação diferencial original e suas condições de 
contorno são lineares e homogêneas, qualquer combinação linear 
finita das soluções fundamentais as satisfaz também.
Assumimos que isso é verdade para combinações lineares 
infinitas convergentes de soluções fundamentais também.
Assim, para satisfazer a condição inicial
fazemos
Lxxfxu  0),()0,(
 








1
)/(0
1
0
0
/cos
2
),(),(
2
),(
2
n
tLn
n
n
nn
Lxnec
c
txuctxuc
txu

Condição Inicial (9 de 11)
Assim, para satisfazer a condição inicial
fazemos
onde o c
n
 é escolhido para que a condição inicial seja satisfeita:
Assim, escolhemos os coeficientes c
n
 para uma série de Fourier 
dos cossenos:
Lxxfxu  0),()0,(
 



1
)/(0 /cos
2
),(
2
n
tLn
n Lxnec
c
txu 
 



1
0 /cos
2
)()0,(
n
n Lxnc
c
xfxu 
  
L
n ndxLxnxfL
c
0
,2,1,0,/cos)(
2

Solução (10 de 11)
Portanto, a solução para o problema de condução de calor para 
uma barra com extremidades isoladas (e lados isolados)
É dado por
Onde
Lxxfxu
ttLutu
tLxuu
xx
txx



0),()0,(
0,0),(,0),0(
0,0,2
 



1
)/(0 /cos
2
),(
2
n
tLn
n Lxnec
c
txu 
  
L
n ndxLxnxfL
c
0
,2,1,0,/cos)(
2

Interpretação física (11 de 11)
A solução para o nosso problema de condução de calor
Pode ser pensado como a soma da distribuição de temperatura 
estacionária (dada por c
0
 / 2) que é independente do tempo e uma 
solução transitória (dada pela série) que tende a 0 quando t →∞.
Físicamente, esperamos que o processo de condução de calor 
gradualmente suavize a distribuição de temperatura na barra, pois 
nenhum calor escapa ou entra da/na barra.
Observe que o valor médio da distribuição de temperatura inicial 
é
 



1
)/(0 /cos
2
),(
2
n
tLn
n Lxnec
c
txu 

L
dxxf
L
c
0
0 )(
1
2
Exemplo 2: Problema de condução do calor 
(1 de 2)
Encontre a temperatura u (x, t) em uma haste de metal de 25 cm 
de comprimento, isolada nos lados e nas extremidades e cuja 
distribuição de temperatura inicial é u (x, 0) = x para 0 <x <25.
Este problema de condução de calor tem a forma
250,)0,(
0,0),25(,0),0(
0,250,2



xxxu
ttutu
txuu
xx
txx
Exemplo 2: Solução (2 de 2)
A solução para o nosso problema de condução de calor é
Onde
portanto
 



1
)25/(0 25/cos
2
),(
2
n
tn
n xnec
c
txu 
  1,
even,0
odd,)/(100
25/cos
25
2
,25
25
2
2
25
0
25
00








n
n
nn
dxxnxc
dxxc
n


 



,5,3,1
)50/(
2
25/cos
1100
2
25
),(
2
n
tn xne
n
txu 


Problemas mais gerais (1 de 2)
O método de separação de variáveis também pode ser usado para 
resolver problemas de condução de calor com outras condições 
de contorno além das discutidas nesta seção.
Por exemplo, a extremidade esquerda da barra pode ser mantida a 
uma temperatura fixa T enquanto a outra extremidade é isolada.
Neste caso, as condições de fronteira são
O primeiro passo é reduzir as condições de fronteira atribuídas a 
homogênea, subtraindo a solução de estado estacionário.
O problema resultante é resolvido essencialmente pelo mesmo 
procedimento que nos problemas considerados anteriormente.
0,0),(,),0(  ttLuTtu x
Problemas mais gerais (2 de 2)
Outro tipo de condição de fronteira ocorre quando a taxa de fluxo 
de calor através da extremidade da barra é proporcional à 
temperatura.
É mostrado no Apêndice A que as condições de contorno neste 
caso são da forma
Onde h
1
 e h
2 
são constantes não negativas.
Se aplicarmos o método de separação de variáveis ao problema 
de condução de calor com essas condições de contorno, temos
Como antes, apenas certos valores não negativos de λ dão origem a soluções 
fundamentais, que podem ser superpostas para formar uma solução global que 
satisfaça a condição inicial. Veja o texto.
,0,0),(),(,0),0(),0( 21  ttLuhtLutuhtu xx
0)()(,0)0()0(,0 21  LXhLXXhXXX 
Boyce/DiPrima – 9ª ed. - Seção 10.6 – Exercícios: 1,3,5,7,21,22.
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