ANÁLISE COMBINATÓRIA124

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Análise Combinatória
Aula 04: Arranjos simples e arranjos com repetições
Apresentação
Nesta aula, abordaremos os tipos de agrupamentos onde a ordem dos seus elementos é relevante. Aprenderemos
situações onde esses elementos se repetem ou não e, �nalmente, relacionaremos esses conceitos com o Princípio
Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo). Veremos estratégias importantes que pouco aparecem em nossos
livros didáticos.
Objetivos
Identi�car arranjos simples e com repetição;
Reconhecer arranjos simples e com repetição;
Veri�car a diferença existente entre arranjos simples e com repetição.
Agrupamentos
Consideremos 3 rapazes:
Vamos, a partir desse pequeno grupo, formar todas as duplas possíveis. Tarefa fácil, não?
Veja aqui quais duplas podemos formar
Primeira dupla Segunda dupla Terceira dupla
Realmente foi muito fácil. Que tal aumentarmos esse grupo? Vamos acrescentar mais uma pessoa:
Passamos a ter um grupo com 4 pessoas, a saber:
Vamos formar as novas duplas?
Veja aqui quais duplas podemos formar
Primeira dupla Segunda dupla Terceira dupla
Quarta dupla Quinta dupla Sexta dupla
Agora, acrescentamos mais uma.
Veja aqui quais duplas podemos formar
Primeira dupla Segunda dupla Terceira dupla
Quarta dupla Quinta dupla Sexta dupla
Sétima dupla Oitava dupla nona dupla
Décima dupla
É fácil observar que, na medida em que o número de pessoas aumenta, nossa tarefa vai se tornando cada vez mais difícil.
Podemos formular algumas perguntas, tais como:
1) Qual a �nalidade dessas duplas?
2) Estamos interessados em quais são essas duplas ou quantas são?
3) Existiria uma maneira mais geral e mais rápida de dizermos quantas são
essas duplas?
A seguir veremos juntos a resposta para cada uma dessas perguntas.
A �nalidade
É muito importante, pois se a formação da dupla tiver como objetivo  representar um grupo, por exemplo, em uma reunião, é
indiferente a dupla formada por João e Pedro ou por Pedro e João, já que a ordem das pessoas não alterará o objetivo �nal.
Entretanto, se essa dupla tem como proposta a formação de uma chapa para concorrer às eleições de presidente e vice-
presidente de um clube, nesse caso, a chapa formada por João e Pedro é diferente da chapa formada por Pedro e João, uma
vez que João presidente e Pedro vice é uma situação diferente de João vice e Pedro presidente.
A pergunta agora é... 
“Estamos interessados em quais são essas duplas ou quantas são?”
A �nalidade
Essa é outra pergunta importante pois, quando estamos interessados em contar os casos, a situação pode ser resolvida mais
facilmente.
Entretanto, se a �nalidade for enumerar todas as possíveis duplas, o problema poderá se tornar trabalhoso demais ou até
mesmo exigir outras ferramentas mais so�sticadas, como um computador.
Existiria uma maneira mais geral e mais rápida de dizermos quantas são
essas duplas?
Na verdade, poderíamos criar diversas estratégias para
responder essa questão.
Talvez uma estratégia razoável fosse  a criação de tabelas
que permitam uma melhor visualização da situação
problema.
Então, vejamos:
Na primeira situação podemos denominar João pela letra A, Paulo pela B e Pedro pela C e criar a  tabela de dupla entrada ao
lado.
Nessa tabela, evidentemente, devemos excluir os casos AA, BB e CC que, no nosso contexto, não são “duplas”. Como na nossa
situação inicial estamos considerando a dupla AB sendo a mesma que a dupla BA, temos os nossos 3 casos já identi�cados
(AB, AC e BC).
No segundo momento, incluímos mais uma
pessoa:
que representaremos pela letra D, e assim temos a
nova tabela.
 Mais uma vez devemos excluir a diagonal
formada pelos elementos (AA, BB, CC, DD).
Como estamos considerando as duplas AB e
BA como sendo a mesma, as nossas 6 duplas
são:
(AB,AC,AD,BC,BD,CD).
No terceiro momento incluímos:
que, na nova tabela, será representada pela letra E.

Nesse momento, acreditamos que podemos pensar de forma mais abstrata para um  conjunto com n elementos.
O total de duplas que podemos formar é igual a:
Em todas as situações, descontamos os casos onde a mesma pessoa estaria formando “dupla” com ela mesma (AA,BB,CC,...)
ou seja, n situações.
Logo, teríamos n²-n = n(n-1) duplas.
Como cada dupla está sendo contada duas vezes, devemos dividir por 2, chegando na expressão, que é a expressão que
responde rapidamente a nossa situação.
Vejamos:
n x n = n²
n(n−1)
2
3 pessoas: = 3 duplas
4 pessoas: = 4 duplas
5 pessoas: = 5 duplas
3(3−1)
2
4(4−1)
2
5(5−1)
2
Atenção
Nos parece razoável pensar que, quando a situação exigir que a ordem seja considerada, bastará que não dividamos a
expressão por 2, ou seja o total de pares será dado pela expressão n(n-1). Que tal algumas novas situações? Mas antes, uma
boa sugestão para de�nirmos se a ordem dos elementos é ou não relevante: construir um grupo do tipo que o problema
menciona.
Exemplo
A mala do Dr. Z tem um cadeado cujo segredo é uma
combinação com 5 algarismos, cada um dos quais pode
variar de 0 a 9.
Ele esqueceu a combinação que escolhera como segredo,
mas sabe que atende às seguintes condições:
 Cadeado com segredo | Fonte: Shutterstock
a) Se o primeiro algarismo é ímpar, então o último também é ímpar;
b) Se o primeiro é par, então o último é igual ao primeiro;
c) A soma dos segundo e terceiro algarismos é 5.
Quantas combinações diferentes atendem às condições estabelecidas pelo Dr. Z?
SOLUÇÃO:
Seja Z = abcde o número procurado. Da segunda condição sabemos que b + c =5, condição que será atendida em 6 situações.
São elas:
b = 0 e c = 5 
b = 1 e c = 4 
b = 2 e c = 3 
b = 3 e c = 2 
b = 4 e c = 1 
b = 5 e c = 0
Analisemos o caso onde o algarismo a é ímpar: então, o último também será. Devemos observar que a escolha do d está livre
e, portanto, poderá ser feita de 10 maneiras diferentes. Logo, nessa primeira situação, temos: 5 x 6 x 10 x 5 = 1500. 
Analisemos o caso onde o algarismo a é par: então o último algarismo já está de�nido e é igual ao mesmo valor escolhido
para o a. Portanto, temos: 5 x 6 x 10 x 1 = 300.
Somando as duas situações, obtemos a resposta procurada:
1500+300 = 1800 possibilidades
Esse problema combina os dois princípios de contagem:
Princípio multiplicativo e Princípio da Adição.
Saiba mais
Antes de formalizarmos os conceitos de Princípio Multiplicativo e Princípio da Adição, clique aqui e veja mais alguns
exemplos.
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Princípio multiplicativo e Princípio da Adição
De�nição:
Arranjos simples de n elementos tomados p a p, onde n ≥ 1 e p é um número
natural tal que p ≤ n, são todos os grupos de p elementos distintos que
diferem entre si pela ordem e pela natureza dos p elementos que compõem
cada grupo.
Saiba mais
Antes de dar continuidade a seus estudos, veja alguns exemplos.
Arranjos com Repetição
Seja M um conjunto com m elementos.
Chamamos arranjo com repetição dos m elementos, tomados r a r, toda r-upla ordenada (sequência de tamanho r) formada
com elementos de M, não necessariamente distintos.
O número de arranjos com repetição de m elementos tomados r a r é indicado por:
(AR)m,r = m x m x m x .... x m = m
Saiba mais
Analise mais alguns exemplos para entender melhor o conteúdo abordado.
Notas
Referências
HAZZAN, Samuel. Fundamentos da Matemática Elementar - Volume 5. Atual, s/d.
JULIANELLI, J.R.; DASSIE, B.A.; LIMA, M.L.A.; SÁ, I.P. Curso de Análise Combinatória e Probabilidade - Aprendendo com a
resolução de problemas. Rio de Janeiro: Ciência Moderna, 2009.
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MEDEIROS, Valéria Zuma. Pré-Cálculo. São Paulo: Thomson, s/d.
Próxima aula
Combinações Simples;
Combinações Completas.
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